Campo magnetico nastro conduttore
Salve a tutti , è da un giorno che tento ti risolvere un esercizio di fisica cercando di comprendere come impostarlo 
, il testo recita :
La figura in questione è la seguente : http://imageshack.us/photo/my-images/703/fotokfd.jpg
Supposto trascurabile lo spessore penso si possa considerare il nastro come un "foglio conduttore" di lunghezza infinita e larghezza assegnata. Il mio dubbio sorge sulla posizione del punto in considerazione per il calcolo del campo \(\displaystyle B\). Se andassimo ad indicare sull'asse \(\displaystyle y\) positivo la larghezza e sull'asse \(\displaystyle x\) positivo la lunghezza , dalla figura sembra possa considerarsi il punto \(\displaystyle P\) in posizione \(\displaystyle x=0 \) , \(\displaystyle y=\frac{L}{2} \) e perpendicolare alla faccia del nastro. Se il punto fosse veramente lì (non sono sicuro) non saprei come procedere , mentre se fosse sullo stesso piano del nastro a distanza \(\displaystyle d=1cm\) dal bordo del nastro più vicino le cose cambierebbero. Potrei allora usare la legge di Biòt-Savart per un filo di lunghezza infinita ognugno percorso dalla densità lineare di corrente \(\displaystyle \frac{I}{L}\) e tenendo in considerazione che i contributi al campo dei fili successivi si troveranno a distanza \(\displaystyle d+x \) , la soluzione dovrebbe essere :
\(\displaystyle B=\frac{\mu I}{2\pi L}\int_0^L\frac{1}{d+x}dx \)
È inutile dire che in questo caso il risultato non corrisponde a quello del libro.
Se qualcuno potesse gentilmente dedicarmi cinque minuti per poter capire sarei contento.
Grazie
, il testo recita : Un sottile nastro conduttore di lunghezza indefinita e larghezza \(\displaystyle L=10cm\) è percorso da una corrente \(\displaystyle I=10A\) , distribuita uniformemente nella sua sezione. Si calcoli il campo di induzione \(\displaystyle B\) nel punto che si trova a distanza \(\displaystyle d=1cm\) dal nastro , come indicato nella figura, in cui viene mostrata la sezione del nastro stesso.
La figura in questione è la seguente : http://imageshack.us/photo/my-images/703/fotokfd.jpg
Supposto trascurabile lo spessore penso si possa considerare il nastro come un "foglio conduttore" di lunghezza infinita e larghezza assegnata. Il mio dubbio sorge sulla posizione del punto in considerazione per il calcolo del campo \(\displaystyle B\). Se andassimo ad indicare sull'asse \(\displaystyle y\) positivo la larghezza e sull'asse \(\displaystyle x\) positivo la lunghezza , dalla figura sembra possa considerarsi il punto \(\displaystyle P\) in posizione \(\displaystyle x=0 \) , \(\displaystyle y=\frac{L}{2} \) e perpendicolare alla faccia del nastro. Se il punto fosse veramente lì (non sono sicuro) non saprei come procedere , mentre se fosse sullo stesso piano del nastro a distanza \(\displaystyle d=1cm\) dal bordo del nastro più vicino le cose cambierebbero. Potrei allora usare la legge di Biòt-Savart per un filo di lunghezza infinita ognugno percorso dalla densità lineare di corrente \(\displaystyle \frac{I}{L}\) e tenendo in considerazione che i contributi al campo dei fili successivi si troveranno a distanza \(\displaystyle d+x \) , la soluzione dovrebbe essere :
\(\displaystyle B=\frac{\mu I}{2\pi L}\int_0^L\frac{1}{d+x}dx \)
È inutile dire che in questo caso il risultato non corrisponde a quello del libro.
Se qualcuno potesse gentilmente dedicarmi cinque minuti per poter capire sarei contento.
Grazie
Risposte
Considera un sistema di riferimento con origine nel centro della lastra vista in sezione. Sia $x$ l'asse su cui giace tale sezione (cioè, la sezione del nastro corrisponda all'intervallo $[-L/2,L/2]$ dell'asse $x$) e $y$ ad esso perpendicolare positivamente orientato lungo $P$.
Tale nastro, percorso da una densità di corrente $j=i/L$ si può pensarlo composto da tanti fili infiniti percorsi da una corrente $di=jdx$, distanti $r=\sqrt(x^2+d^2)$ da $P$.
Applica il principio di sovrapposizione.
In spoiler la (probabile, non ho rifatto i conti) soluzione.
Tale nastro, percorso da una densità di corrente $j=i/L$ si può pensarlo composto da tanti fili infiniti percorsi da una corrente $di=jdx$, distanti $r=\sqrt(x^2+d^2)$ da $P$.
Applica il principio di sovrapposizione.
In spoiler la (probabile, non ho rifatto i conti) soluzione.
Scusa quindi mi troverei a risolvere questo integrale?
\(\displaystyle B=\frac{\mu I}{2\pi L} \int_a^b \frac{1}{\sqrt{d^2+x^2}} dx\) con \(a=-\frac{L}{2}\) e \(b=\frac{L}{2}\)
Non capisco come fa ad uscirti \(\displaystyle B(d)=\frac{i}{\pi L}arctan\frac{L}{2d} \)
\(\displaystyle B=\frac{\mu I}{2\pi L} \int_a^b \frac{1}{\sqrt{d^2+x^2}} dx\) con \(a=-\frac{L}{2}\) e \(b=\frac{L}{2}\)
Non capisco come fa ad uscirti \(\displaystyle B(d)=\frac{i}{\pi L}arctan\frac{L}{2d} \)
"davidin0zz":
Scusa quindi mi troverei a risolvere questo integrale?
\(\displaystyle B=\frac{\mu I}{2\pi L} \int_a^b \frac{1}{\sqrt{d^2+x^2}} dx\)
No.
Devi sfruttare, nell'ordine, una certa simmetria rispetto all'asse $y$, qualche proprietà di geometria di prima o seconda liceo e la definizione di una funzione trigonometrica. Per ottenere
\[B(d)=2\frac{i}{2\pi L} \int_0^{L/2} \frac{dx}{\sqrt{d^2+x^2}}\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}}\]
orientato lungo $x$.
EDIT. Mi sono scordato sempre i $mu_0$, tu ricorda di metterli.
Sono riuscito finalmente a ricostruire la soluzione , non mi ero accorto che il campo \(B\) si compensasse lungo \(y\) e quindi avesse solo componente risultate lungo \(x\). Quindi a partire da
\(\displaystyle dB=\frac{\mu_0 I}{2\pi L}\frac{1}{\sqrt{d^2+x^2}}dx\)
per simmetria il campo risultante è
\(\displaystyle dB_x(d)=dB cos\theta= \frac{\mu_0 I}{2\pi L}\frac{cos\theta}{\sqrt{d^2+x^2}}dx\)
e quindi poichè
\(\displaystyle d = \sqrt{d^2+x^2}cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}}\)
trovando che
\(\displaystyle B_x(d) = 2\frac{\mu_0 I}{2\pi L}\int_0^{L/2}\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}\sqrt{d^2+x^2}}dx \)
e con i dati del problema
\(\displaystyle B_x(d) = \frac{1.26\cdot 10^{-4}}{3.14}\cdot arctan(5) = 5.5 \cdot 10^{-5}\)\(T\)
[size=130]giuliofis ti ringrazio per la pazienza e per avermi dato preziosi consigli![/size]
\(\displaystyle dB=\frac{\mu_0 I}{2\pi L}\frac{1}{\sqrt{d^2+x^2}}dx\)
per simmetria il campo risultante è
\(\displaystyle dB_x(d)=dB cos\theta= \frac{\mu_0 I}{2\pi L}\frac{cos\theta}{\sqrt{d^2+x^2}}dx\)
e quindi poichè
\(\displaystyle d = \sqrt{d^2+x^2}cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}}\)
trovando che
\(\displaystyle B_x(d) = 2\frac{\mu_0 I}{2\pi L}\int_0^{L/2}\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}\sqrt{d^2+x^2}}dx \)
e con i dati del problema
\(\displaystyle B_x(d) = \frac{1.26\cdot 10^{-4}}{3.14}\cdot arctan(5) = 5.5 \cdot 10^{-5}\)\(T\)
[size=130]giuliofis ti ringrazio per la pazienza e per avermi dato preziosi consigli![/size]
Perfetto! Piccolo appunto, però: quando fai il calcolo numerico ricorda di inserire l'unità di misura anche nei passaggi intermedi. È estremamente brutto vedere numeri puri trasformarsi magicamente in quantità dimensionate!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
