Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente non omogenea
Ciao a tutti, ecco il testo del problema che sto affrontando:
Un filo rettilineo indefinito con sezione circolare di raggio R è percorso da una corrente la cui densità varia radialmente secondo la legge $j = j_0r^2$, con $j_0$ costante positiva e r distanza dall’asse del filo. Determinare modulo, direzione e verso del campo magnetico nei punti interni ed esterni al filo.
ecco cosa ho fatto io: considero $Sigma$ sezione ortogonale del filo, di area $pi R^2$ essendo un cerchio. Siccome $ i _|_ Sigma $ allora vale $I=jSigma$ e quindi $i=j_0piR^2r^2$
ora, la legge di Biot-Savart (che altri non è se non la legge di Ampère applicata al filo rettilineo) mi dice che il campo magnetico $ vec(B) $ generato dal filo in un punto P esterno al filo ha direzione tangente alla circonferenza ortogonale al filo che passa per P e con centro sull'asse del filo. Il verso si determina con la regola della mano destra.
per il modulo però sorge il dubbio: all'esterno del filo ho $B = (\mu_0 i)/(2pi d) $, dove d è la distanza dall'asse del filo. Siccome al di fuori del filo non c'è corrente, devo calcolare i considerando $r=R$? Ricordo che r è la distanza dall'asse nell'espressione della densità di corrente (e quindi poi di i), mentre R è il raggio della sezione del filo.
Se fosse così come dico io verrebbe $B = (mu_0 i)/(2pi d) = (mu_0 j_0 R^4)/(2d)$.
All'interno del filo invece ho che d ed r sono la stessa cosa, quindi avrò $B = (mu_0 i)/(2pi d) = (mu_0 j_0 R^2 r)/2 $ perchè semplifico $r^2$ ed r. è corretto? è in parte giusto? è tutto sbagliato? Attendo vostre risposte
Un filo rettilineo indefinito con sezione circolare di raggio R è percorso da una corrente la cui densità varia radialmente secondo la legge $j = j_0r^2$, con $j_0$ costante positiva e r distanza dall’asse del filo. Determinare modulo, direzione e verso del campo magnetico nei punti interni ed esterni al filo.
ecco cosa ho fatto io: considero $Sigma$ sezione ortogonale del filo, di area $pi R^2$ essendo un cerchio. Siccome $ i _|_ Sigma $ allora vale $I=jSigma$ e quindi $i=j_0piR^2r^2$
ora, la legge di Biot-Savart (che altri non è se non la legge di Ampère applicata al filo rettilineo) mi dice che il campo magnetico $ vec(B) $ generato dal filo in un punto P esterno al filo ha direzione tangente alla circonferenza ortogonale al filo che passa per P e con centro sull'asse del filo. Il verso si determina con la regola della mano destra.
per il modulo però sorge il dubbio: all'esterno del filo ho $B = (\mu_0 i)/(2pi d) $, dove d è la distanza dall'asse del filo. Siccome al di fuori del filo non c'è corrente, devo calcolare i considerando $r=R$? Ricordo che r è la distanza dall'asse nell'espressione della densità di corrente (e quindi poi di i), mentre R è il raggio della sezione del filo.
Se fosse così come dico io verrebbe $B = (mu_0 i)/(2pi d) = (mu_0 j_0 R^4)/(2d)$.
All'interno del filo invece ho che d ed r sono la stessa cosa, quindi avrò $B = (mu_0 i)/(2pi d) = (mu_0 j_0 R^2 r)/2 $ perchè semplifico $r^2$ ed r. è corretto? è in parte giusto? è tutto sbagliato? Attendo vostre risposte
Risposte
La corrente totale che passa nel filo è
$I=int_0^R j 2 pi r dr=2 pi j_0 int_0^R r^3 dr=2 pi j_0 1/4 R^4=1/2 pi j_0 R^4$.
Quindi il campo all'esterno del filo (per $r>=R$) ha andamento
$B(r)=(mu_0)/(2 pi r) I=(mu_0)/(2 pi r) 1/2 pi j_0 R^4=(mu_0 j_0 R^4)/(4r)$.
All'interno del filo invece (per $r
Quindi il campo all'interno del filo ha andamento
$B(r)=(mu_0)/(2 pi r) I(r)=(mu_0)/(2 pi r) 1/2 pi j_0 r^4=(mu_0 j_0)/4r^3$.
$I=int_0^R j 2 pi r dr=2 pi j_0 int_0^R r^3 dr=2 pi j_0 1/4 R^4=1/2 pi j_0 R^4$.
Quindi il campo all'esterno del filo (per $r>=R$) ha andamento
$B(r)=(mu_0)/(2 pi r) I=(mu_0)/(2 pi r) 1/2 pi j_0 R^4=(mu_0 j_0 R^4)/(4r)$.
All'interno del filo invece (per $r
Quindi il campo all'interno del filo ha andamento
$B(r)=(mu_0)/(2 pi r) I(r)=(mu_0)/(2 pi r) 1/2 pi j_0 r^4=(mu_0 j_0)/4r^3$.
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