Campo magnetico generato da correnti formanti un quarato
Ciao a tutti
Ho un problema in cui si chiede di determinare il campo magnetico generato in un punto situato nel centro di un quadrato.
I lati del quadrato sono fili in cui scorre la stessa corrente e nel complesso la corrente scorre in senso antiorario
I lati misurano $2a$
Penso che il campo generato da ogni filo nel punto è uscente
Qualcuno ha idee sulal risoluzione?
Grazie
Ho un problema in cui si chiede di determinare il campo magnetico generato in un punto situato nel centro di un quadrato.
I lati del quadrato sono fili in cui scorre la stessa corrente e nel complesso la corrente scorre in senso antiorario
I lati misurano $2a$
Penso che il campo generato da ogni filo nel punto è uscente
Qualcuno ha idee sulal risoluzione?
Grazie
Risposte
inizia a pensare in questi termini. Scomponi il problema, devi calcolarti il campo generato da un solo lato del quadrato ad una distanza pari ad $a$ sull'asse del lato. Se immagini il quadrato appoggiato sul tuo foglio, il campo dovuto ad un solo lato è uscente dal foglio (legge della mano destra, il campo magnetico avvolge il filo).
I contributi dei 4 lati si sommano, data la lineartià del sistema.
Dato che la corrente scorre sempre in verso antiorario in tutto il quadrato alla fine ti basta moltiplicare il campo al centro per 4, cioè sommare 4 volte lo stesso contributo
I contributi dei 4 lati si sommano, data la lineartià del sistema.
Dato che la corrente scorre sempre in verso antiorario in tutto il quadrato alla fine ti basta moltiplicare il campo al centro per 4, cioè sommare 4 volte lo stesso contributo
Lavoriamo sul lato superiore della spira. Detto $r$ il segmento dal centro $O$ del quadrato ad un punto di tale lato,
si ha che $r=a/(sintheta)$, dove $theta$ è l'angolo (a sinistra) tra $r$ e una linea orizzontale passante per $O$.
Per la seconda legge elementare di Laplace, vale $dvecB= (mu_0I)/(4pi) (dvecl times vecu_r)/r^2$, quindi nel nostro caso $dB=(mu_0I)/(4pi) (dl sintheta)/(a^2/(sin^2theta))=(mu_0I)/(4pi) (sin^3theta)/(a^2)dl$.
Resta da capire quanto valga $dl$ in funzione di $theta$: la questione è piuttosto sottile.
Per il teorema dei seni, si può scrivere $(dl)/(sind theta)=r/(sin(pi-d theta-theta))$. Ora, sono necessarie due approssimazioni:
(1) $sin d theta= d theta$ e (2) $sin(pi-d theta-theta)=sin(theta+d theta)=sin theta$. Tenuto conto di (1) e (2),
si ottiene $dl=(a d theta)/(sin^2 theta)$. Perciò, integrando, il campo magnetico dovuto al flusso di corrente
lungo uno dei quattro lati del quadrato è $B=(mu_0I)/(4pi a) int_(pi/4)^(3/4 pi) sintheta d theta = (mu_0I sqrt2)/(4pi a) $.
Con la regola della mano destra, infine, non è difficile stabilire che tale vettore è entrante nel piano della spira,
sia per il lato preso in considerazione che per gli altri tre. Dunque $B_(mbox(tot))=(mu_0 I sqrt2)/(pi a)$.
si ha che $r=a/(sintheta)$, dove $theta$ è l'angolo (a sinistra) tra $r$ e una linea orizzontale passante per $O$.
Per la seconda legge elementare di Laplace, vale $dvecB= (mu_0I)/(4pi) (dvecl times vecu_r)/r^2$, quindi nel nostro caso $dB=(mu_0I)/(4pi) (dl sintheta)/(a^2/(sin^2theta))=(mu_0I)/(4pi) (sin^3theta)/(a^2)dl$.
Resta da capire quanto valga $dl$ in funzione di $theta$: la questione è piuttosto sottile.
Per il teorema dei seni, si può scrivere $(dl)/(sind theta)=r/(sin(pi-d theta-theta))$. Ora, sono necessarie due approssimazioni:
(1) $sin d theta= d theta$ e (2) $sin(pi-d theta-theta)=sin(theta+d theta)=sin theta$. Tenuto conto di (1) e (2),
si ottiene $dl=(a d theta)/(sin^2 theta)$. Perciò, integrando, il campo magnetico dovuto al flusso di corrente
lungo uno dei quattro lati del quadrato è $B=(mu_0I)/(4pi a) int_(pi/4)^(3/4 pi) sintheta d theta = (mu_0I sqrt2)/(4pi a) $.
Con la regola della mano destra, infine, non è difficile stabilire che tale vettore è entrante nel piano della spira,
sia per il lato preso in considerazione che per gli altri tre. Dunque $B_(mbox(tot))=(mu_0 I sqrt2)/(pi a)$.
scusa elgiovo, se prendiamo un sistema di riferimento xyz e poniamo la spira nel piano xy, guardandola dall'alto e osservando il verso della corrente in modo che circoli in senso antiorario, il campo magnetico non risulta essere diretto nel verso positivo di z al centro della spira?
Vi ringrazio entrambi per l'aiuto
La soluzione di elgiovo è corretta.E' quella del libro
Io procedevo prendendo il filo sotto e facendo partire il raggio vettoredall'origine del filo al punto
Cioè assumevo l'elementino $dq$ di corrente all'originedel filo.Il versore $ds$ della corrente verso destra.
Ho posto il filo su un riferimento cartesiano verso destra Y
Quindi il seno tra $r$ ed $ds$ come $sen(theta)=a/r$
Ora,ds stando sull'asse Y lo chiamo dy e riportandomi r ed il seno in funzione di della variabiledi integrazione dy , $r=sqrt(y^2+a^2)$ e $sen(theta)=a/(y^2+a^2)$
Ho proceduto con Biot-savart....moltiplicando per 4 ma non mi viene il risultato
La soluzione di elgiovo è corretta.E' quella del libro
Io procedevo prendendo il filo sotto e facendo partire il raggio vettoredall'origine del filo al punto
Cioè assumevo l'elementino $dq$ di corrente all'originedel filo.Il versore $ds$ della corrente verso destra.
Ho posto il filo su un riferimento cartesiano verso destra Y
Quindi il seno tra $r$ ed $ds$ come $sen(theta)=a/r$
Ora,ds stando sull'asse Y lo chiamo dy e riportandomi r ed il seno in funzione di della variabiledi integrazione dy , $r=sqrt(y^2+a^2)$ e $sen(theta)=a/(y^2+a^2)$
Ho proceduto con Biot-savart....moltiplicando per 4 ma non mi viene il risultato
La legge di Biot-Savart è per un filo infinito...
mhm vedo degli errori nel tuo ragionamento.Magari si può anche ragionare in funzione di y anziché di theta.
r non è dato da $sqrt(a^2 + y^2)$ ma da $sqrt(a^2 + (a-y)^2)$
inoltre se $sin theta = a/r$ e r lo esprimi come la radice di "qualcosa" è chiaro che otterrai $sin theta = a/sqrt(qualcosa)$ e non hai messo la radice.
Non ho capito come hai applicato Biot-Savart: questa legge ti dice quanto vale il campo magnetico generato da un filo infinto in un punto. In un certo senso è una formula integrale perché ti da già la somma di tutti i contributi infinitesimi del campo in P dovuti agli elementi infinitesimi di corrente presenti sul filo infinito, cioè l'integrale che noi dobbiamo fare da $ 0$ a $2a$ per un lato della spira nella legge di B.-S. è già stato valutato, da $-oo$a $+oo$.
Allora noi, partiamo dal campo infinitesimo dB generato da un elementino di filo (ma questo non è biot savart!) e integriamo da $0$ a $2a$, vabbè, poi si effettuano le dovute trasformazioni.
Spero che hai capito quello che voglio dire.
Io mi ritrovo con elgiovo... (come si fa a non trovarsi con lui!), anche se ho seguito una strada diversa: angoli diversi approssimazioni diverse.
Non mi ritrovo col verso del campo. Al centro della spira il cmapo è uscente.. come ho spiegato. Infatti se usi il libro mazzoldi-nigro-voci (dai dati mi pare di si) a pagina 245 della versione non ridotta c'è proprio questo esempio con la figura
r non è dato da $sqrt(a^2 + y^2)$ ma da $sqrt(a^2 + (a-y)^2)$
inoltre se $sin theta = a/r$ e r lo esprimi come la radice di "qualcosa" è chiaro che otterrai $sin theta = a/sqrt(qualcosa)$ e non hai messo la radice.
Non ho capito come hai applicato Biot-Savart: questa legge ti dice quanto vale il campo magnetico generato da un filo infinto in un punto. In un certo senso è una formula integrale perché ti da già la somma di tutti i contributi infinitesimi del campo in P dovuti agli elementi infinitesimi di corrente presenti sul filo infinito, cioè l'integrale che noi dobbiamo fare da $ 0$ a $2a$ per un lato della spira nella legge di B.-S. è già stato valutato, da $-oo$a $+oo$.
Allora noi, partiamo dal campo infinitesimo dB generato da un elementino di filo (ma questo non è biot savart!) e integriamo da $0$ a $2a$, vabbè, poi si effettuano le dovute trasformazioni.
Spero che hai capito quello che voglio dire.
Io mi ritrovo con elgiovo... (come si fa a non trovarsi con lui!), anche se ho seguito una strada diversa: angoli diversi approssimazioni diverse.
Non mi ritrovo col verso del campo. Al centro della spira il cmapo è uscente.. come ho spiegato. Infatti se usi il libro mazzoldi-nigro-voci (dai dati mi pare di si) a pagina 245 della versione non ridotta c'è proprio questo esempio con la figura
Si, c'è un piccolo refuso nella mia soluzione: il campo è uscente.
ook
buonanotte raga..
buonanotte raga..
Vi ringrazio dei chiarimenti
Ma un'altra domanda sugli estremi di integrazione
Supponiamo di avere un filo di dimensione finita.vogliamo trovare il campo magnetico in un punto a distanza $a$ sopra un estremo.Il filo è lungo $2a$
Se facessi partire un'asse di riferimento dall'origine opposta del filo,come considerate gli estremi di integrazione nella seconda legge di Laplace?
Ma un'altra domanda sugli estremi di integrazione
Supponiamo di avere un filo di dimensione finita.vogliamo trovare il campo magnetico in un punto a distanza $a$ sopra un estremo.Il filo è lungo $2a$
Se facessi partire un'asse di riferimento dall'origine opposta del filo,come considerate gli estremi di integrazione nella seconda legge di Laplace?
In questo caso $dl=(a d theta)/(sin^2 theta)$, perciò $dB=(mu_0I)/(4pia) sin theta d theta$. Gli estremi di integrazione sono
stavolta $tan^(-1) 1/2$ e $pi/2$, quindi $B=(mu_0I)/(4pia) int_(tan^(-1) 1/2)^(pi/2) sin theta d theta=(sqrt5mu_0 I)/(10pi a) $, uscente.
stavolta $tan^(-1) 1/2$ e $pi/2$, quindi $B=(mu_0I)/(4pia) int_(tan^(-1) 1/2)^(pi/2) sin theta d theta=(sqrt5mu_0 I)/(10pi a) $, uscente.
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