Campo magnetico di una spira quadrata
determinare il campo magnetico al centro di una spira quadrata di lato $2a$ percorsa da una corrente elettrica $i$.
(qua ho 2 metodi di soluzione)
1) $B=4*(\mu_0*i)/(4\pi)\int_(pi/4)^(3pi/4)(dlsin\theta)/r^2=4*(\mu_0*i)/(4a\pi)\int_(pi/4)^(3pi/4)sin\thetad\theta=(\mu_0*i)/(a\pi)sqrt(2)$
con $sin\theta=a/r$ e $dlsin\theta=r\d\theta$
non riesco a capire gli estremi di integrazione.. non riesco a visualizzare bene come spazia $\theta$ lungo il lato 2a
2)$B=4*(\mu_0*i*a)/(4\pi)*((2a)/(a^2sqrt(a^2+a^2)))=(\mu_0*i)/(a\pi)sqrt(2)$
non riesco a capire il libro come ha svolto l'integrale .. so solo che ha usato gli estremi di integrazione da -a ad a
grazie per le eventuali risposte!!
(qua ho 2 metodi di soluzione)
1) $B=4*(\mu_0*i)/(4\pi)\int_(pi/4)^(3pi/4)(dlsin\theta)/r^2=4*(\mu_0*i)/(4a\pi)\int_(pi/4)^(3pi/4)sin\thetad\theta=(\mu_0*i)/(a\pi)sqrt(2)$
con $sin\theta=a/r$ e $dlsin\theta=r\d\theta$
non riesco a capire gli estremi di integrazione.. non riesco a visualizzare bene come spazia $\theta$ lungo il lato 2a
2)$B=4*(\mu_0*i*a)/(4\pi)*((2a)/(a^2sqrt(a^2+a^2)))=(\mu_0*i)/(a\pi)sqrt(2)$
non riesco a capire il libro come ha svolto l'integrale .. so solo che ha usato gli estremi di integrazione da -a ad a
grazie per le eventuali risposte!!
Risposte
Per il primo metodo, prendi il tuo sistema di riferimento con centro nel centro del quadrato e assi paralleli ai lati del quadrato..
Parliamo in particolare per il lato destro del quadrato.
Considera il vertice in alto a destra avrà coordinata del tipo (x,x) mentre quello in basso a destra avrà rispettivamente coordinate (x,-x)
A te interessa l'angolo che ti serve per descrivere il lato destro, quindi l'angolo che forma la retta passante per l'origine e per il punto (x,x) con l'asse delle x.
Ti trovi che la retta di cui stiamo parlando è la bisettrice degli assi? Ecco perchè l'angolo vale $pi/4$ In modo simile per l'altro vertice..
Parliamo in particolare per il lato destro del quadrato.
Considera il vertice in alto a destra avrà coordinata del tipo (x,x) mentre quello in basso a destra avrà rispettivamente coordinate (x,-x)
A te interessa l'angolo che ti serve per descrivere il lato destro, quindi l'angolo che forma la retta passante per l'origine e per il punto (x,x) con l'asse delle x.
Ti trovi che la retta di cui stiamo parlando è la bisettrice degli assi? Ecco perchè l'angolo vale $pi/4$ In modo simile per l'altro vertice..
grazie per la risposta !!! ho capito il primo punto !!!
Salve... avrei anche un altro problema riguardo il campo magnetico in una spira quadrata:
Vorrei trovare il campo magnetico in un punto P che andrebbe a formare il quarto angolo di un quadrato di lato l\4 inscritto sulla spira che ha lato l! come faccio?
Vorrei trovare il campo magnetico in un punto P che andrebbe a formare il quarto angolo di un quadrato di lato l\4 inscritto sulla spira che ha lato l! come faccio?
non riesco a capire una cosa..
per quanto riguarda il primo metodo, il campo magnetico non dovrebbe essere \(\int_{\Omega _{2}}^{\Omega _{1}}{\cos \Omega \; \partial \Omega }\) ?
infatti la versione semplificata del campo magnetico del filo rettilineo prende come soluzione di B, proprio l'integrale del cos, che quindi farà \(\left[ \sin \Omega \right]_{\Omega _{2}}^{\Omega _{1}} \)
per quanto riguarda il primo metodo, il campo magnetico non dovrebbe essere \(\int_{\Omega _{2}}^{\Omega _{1}}{\cos \Omega \; \partial \Omega }\) ?
infatti la versione semplificata del campo magnetico del filo rettilineo prende come soluzione di B, proprio l'integrale del cos, che quindi farà \(\left[ \sin \Omega \right]_{\Omega _{2}}^{\Omega _{1}} \)
Anche se il post è vecchio ed è rimasta aperta quest ultima domanda, rispondo per chi magari come me si è trovato su questa discussione in cerca di chiarimenti.
Per quanto riguarda il seno o il coseno, è giusto quello che dici te dix93, in quanto anche il mio libro riporta la formula dell'integrale con la funzione coseno. Tuttavia in questo caso particolare della spira quadrata, abbiamo che gli angolo (cioè gli estremi d'integrazione, stanno a 45 gradi in ogni quadrante del piano xy, di conseguenza il valore del seno e coseno coincidono, e non crea differenze in tale scelta quando si svolge l'integrale
Per quanto riguarda il seno o il coseno, è giusto quello che dici te dix93, in quanto anche il mio libro riporta la formula dell'integrale con la funzione coseno. Tuttavia in questo caso particolare della spira quadrata, abbiamo che gli angolo (cioè gli estremi d'integrazione, stanno a 45 gradi in ogni quadrante del piano xy, di conseguenza il valore del seno e coseno coincidono, e non crea differenze in tale scelta quando si svolge l'integrale
scusate se riprendo tale conversazione ma non mi sembrava utile aprirne una nuova. correggetemi dove sbaglio:
calcolando il campo magnetico nel centro generato da uno solo dei lati della spira quadrata di lato 2a dovrei avere
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{lato}} {i \frac{d\vec{l}\times\vec{r}} {r^3}}=
\frac{\mu_0}{4\pi a} 2\int_{\pi/4}^{\pi/2}{i d\theta}$
dove ho notato che $dl=r d\theta$ e $a=r\sin\theta$.
La cosa che contesto è il seno perchè si ritrova un seno a numeratore nello svolgere il prodotto vettoriale e uno a denominatore quando sostituisco $r=a\sin\theta$ che non resta costante durante tutto il percorso (r è la distanza del centro dal lato). Vedendo altrove il risultato è differente e non so perchè.... HELP!!!!
calcolando il campo magnetico nel centro generato da uno solo dei lati della spira quadrata di lato 2a dovrei avere
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{lato}} {i \frac{d\vec{l}\times\vec{r}} {r^3}}=
\frac{\mu_0}{4\pi a} 2\int_{\pi/4}^{\pi/2}{i d\theta}$
dove ho notato che $dl=r d\theta$ e $a=r\sin\theta$.
La cosa che contesto è il seno perchè si ritrova un seno a numeratore nello svolgere il prodotto vettoriale e uno a denominatore quando sostituisco $r=a\sin\theta$ che non resta costante durante tutto il percorso (r è la distanza del centro dal lato). Vedendo altrove il risultato è differente e non so perchè.... HELP!!!!
Vorrei proporvi questa domanda riguardo agli estremi di integrazione del primo metodo..
Se per simmetria dico che il campo B in C è quattro volte quello generato da uno dei lati del quadrato e quindi $ B(C)=4B_1(C) $ come mai gli estremi di integrazione vanno da $ 45° $ a $ 135° $ sottolineando ulteriormente che si tratta di 4 contributi?
Cioè per logica non si dovrebbe semplicemente calcolare il contributo per un solo lato e quindi con gli estremi di integrazione riferiti a quel lato e poi moltiplicare il tutto per 4 lati? Scusate se magari è una domanda stupida ma non riesco a capire questa sottigliezza.
Se per simmetria dico che il campo B in C è quattro volte quello generato da uno dei lati del quadrato e quindi $ B(C)=4B_1(C) $ come mai gli estremi di integrazione vanno da $ 45° $ a $ 135° $ sottolineando ulteriormente che si tratta di 4 contributi?
Cioè per logica non si dovrebbe semplicemente calcolare il contributo per un solo lato e quindi con gli estremi di integrazione riferiti a quel lato e poi moltiplicare il tutto per 4 lati? Scusate se magari è una domanda stupida ma non riesco a capire questa sottigliezza.
"Granieri":
... come mai gli estremi di integrazione vanno da $ 45° $ a $ 135° $ sottolineando ulteriormente che si tratta di 4 contributi?
Se dai un occhio alla figura, che avevo realizzato tempo fa per scomporre il problema in 8 e non 4 sottoparti componenti, noterai che a partire dal vertice sinistro $x=-a$ l'angolo iniziale sarà $\gamma=\pi/4$, mentre completando il percorso di integrazione in $x=a$ l'angolo finale sarà $\gamma=3/4\pi$
[fcd="fig,1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 61 64 95 74 0
LI 61 64 95 40 0
TY 85 49 4 3 0 1 0 * r
LI 95 40 83 70 0
TY 72 47 4 3 0 1 0 * a
TY 58 64 4 3 0 1 0 * 0
TY 93 74 4 3 0 1 0 * a
TY 74 62 4 3 0 1 0 * x
LI 95 40 95 74 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
TY 68 70 4 3 0 1 0 * i
LI 32 56 61 64 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 32 56 95 40 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 25 54 4 3 0 1 0 * -a
TY 97 20 3 2 0 1 2 * c
TY 83 74 4 3 0 1 2 * dx
TY 78 57 4 3 0 1 2 * ur
LI 79 57 81 56 2
TY 89 18 4 3 0 1 2 * dB
LI 68 69 75 71 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 95 40 95 25 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 92 18 95 18 2
LI 84 70 91 72 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 81 56 83 57 2
LI 84 70 88 60 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 84 74 88 74 2
BE 89 64 96 69 84 69 92 64 3
TY 97 34 4 3 0 1 3 * C
BE 86 66 87 67 88 69 87 71 3[/fcd]
Per quanto riguarda la richiesta di Sirya88
"Sirya88":
... il campo magnetico nel centro generato da uno solo dei lati della spira quadrata di lato 2a dovrei avere
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{lato}} {i \frac{d\vec{l}\times\vec{r}} {r^3}}=
\frac{\mu_0}{4\pi a} 2\int_{\pi/4}^{\pi/2}{i d\theta}$
dove ho notato che $dl=r d\theta$ e $a=r\sin\theta$.
Non capisco invece come possa valere quell'uguaglianza $dl=r d\theta$, in quanto direi che $ r d\theta$ sia solo la componente di $dl$ normale al raggio e quindi $ dl\sin \theta$ (= $ dx\sin \gamma$ nella figura), provando comunque a ripartire dalla legge di Laplace, che riscrivo per avere corrispondenza simbolica all'immagine postata,
$ \text{d}\vec{B}_{C}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }i\,\frac{\text{d}\vec{x}\times \hat{u}_{r}}{r^{2}} $
avremo che, limitando l'integrazione a 1/8 della spira, come mi sembra di capire fosse nelle intenzioni di Sirya88 nell'ultimo range di integrazione, avremo che a denominatore rimane un raggio r al quadrato e quindi
$B_{C}=8\int_{0}^{a} \text{d}\vec{B}_{C} =8\frac{\mu _{0}i}{4\pi }\int_{0}^{a} \frac{\sin \gamma }{a^{2}+x^{2}}\text{d} x=\frac{2\mu _{0}i}{\pi }\int_{0}^{a} \frac{a}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}\mu _{0}}{a\pi}i$
Sono riuscito a capirlo ! Ti ringrazio! 
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