Campo magnetico all'esterno di un condensatore a facce piane
Salve, stavo studiando il seguente esercizio con soluzione fornita nella dispensa del mio professore.
ESERCIZIO
Determinare l'espressione del campo magnetico (modulo direzione e verso) che si genera all'esterno di un condensatore piano circolare in cui è presente un dielettrico diamagnetico di costante dielettrica relativa \(\displaystyle k=2.5 \) quando il condensatore si sta caricando. Si assuma che i piatti del condensatore hanno raggio pari a \(\displaystyle r = 10 mm \), che la separazione tra i due piatti è pari a \(\displaystyle d = 0,1 mm \) e che il condensatore si carichi in maniera uniforme nel tempo \(\displaystyle t = 1s \) da \(\displaystyle Q_0 = 0 \) a \(\displaystyle Q_1 = 1 \mu C \). (si determini il campo in funzione della distanza dal centro del condensatore)
SOLUZIONE
Anche questo esercizio può essere risolto in vari modi, ma la soluzione più semplice consiste nel tener presente che la corrente di spostamento di Maxwell prodotta dalla viariazione del campo elettrico all'interno del solenoide è del tutto equivalente alla corrente reale che scorre nel lo e che sta caricando il condensatore. Per cui il campo magnetico all'esterno del condensatore ha direzione concentrica al condensatore stesso e verso dato dalla regola della mano destra. L'intensità del campo in funzione della distanza dal centro del condensatore è: \(\displaystyle B = (\mu_0 i )/ ( 2 \pi r ) \) La corrente che scorre nel lo è: \(\displaystyle I = (Q_1 - Q_2 )/ t \) Quindi .\(\displaystyle B = (\mu_0 i )/ ( 2 \pi r ) = 0,2/r \)
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La traccia dell'esercizio spiega che bisogna calcolare il campo magnetico all'esterno del condesatore mentre questo si ricarica. Siccome la carica sul condensatore varia nel tempo, si dovrebbe avere una variazione del flusso del campo elettrico e quindi a mio parere il campo magnetico dovrebbe essere funzione del tempo. Avrei usato la legge di Ampére nella forma \(\displaystyle \oint B \cdot ds = \mu_0 i + \mu_0 \epsilon_0 (d \Phi / dt \)).
Qualcuno può spiegarmi meglio in cosa sbaglio?
Grazie mille a tutti in anticipo!
ESERCIZIO
Determinare l'espressione del campo magnetico (modulo direzione e verso) che si genera all'esterno di un condensatore piano circolare in cui è presente un dielettrico diamagnetico di costante dielettrica relativa \(\displaystyle k=2.5 \) quando il condensatore si sta caricando. Si assuma che i piatti del condensatore hanno raggio pari a \(\displaystyle r = 10 mm \), che la separazione tra i due piatti è pari a \(\displaystyle d = 0,1 mm \) e che il condensatore si carichi in maniera uniforme nel tempo \(\displaystyle t = 1s \) da \(\displaystyle Q_0 = 0 \) a \(\displaystyle Q_1 = 1 \mu C \). (si determini il campo in funzione della distanza dal centro del condensatore)
SOLUZIONE
Anche questo esercizio può essere risolto in vari modi, ma la soluzione più semplice consiste nel tener presente che la corrente di spostamento di Maxwell prodotta dalla viariazione del campo elettrico all'interno del solenoide è del tutto equivalente alla corrente reale che scorre nel lo e che sta caricando il condensatore. Per cui il campo magnetico all'esterno del condensatore ha direzione concentrica al condensatore stesso e verso dato dalla regola della mano destra. L'intensità del campo in funzione della distanza dal centro del condensatore è: \(\displaystyle B = (\mu_0 i )/ ( 2 \pi r ) \) La corrente che scorre nel lo è: \(\displaystyle I = (Q_1 - Q_2 )/ t \) Quindi .\(\displaystyle B = (\mu_0 i )/ ( 2 \pi r ) = 0,2/r \)
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La traccia dell'esercizio spiega che bisogna calcolare il campo magnetico all'esterno del condesatore mentre questo si ricarica. Siccome la carica sul condensatore varia nel tempo, si dovrebbe avere una variazione del flusso del campo elettrico e quindi a mio parere il campo magnetico dovrebbe essere funzione del tempo. Avrei usato la legge di Ampére nella forma \(\displaystyle \oint B \cdot ds = \mu_0 i + \mu_0 \epsilon_0 (d \Phi / dt \)).
Qualcuno può spiegarmi meglio in cosa sbaglio?
Grazie mille a tutti in anticipo!
Risposte
"DanieleGianfreda":
... Siccome la carica sul condensatore varia nel tempo, si dovrebbe avere una variazione del flusso del campo elettrico e quindi a mio parere il campo magnetico dovrebbe essere funzione del tempo.
Avrei usato la legge di Ampére nella forma \(\displaystyle \oint B \cdot ds = \mu_0 i + \mu_0 \epsilon_0 (d \Phi / dt \)).
Qualcuno può spiegarmi meglio in cosa sbaglio?
Visto che la carica è uniforme, la tensione e quindi il campo elettrico e di conseguenza il suo flusso, sono funzioni lineari del tempo e di conseguenza la derivata del flusso è una costante, come ovviamente deve essere dovendo la corrente di spostamento all'interno del condensatore andare ad uguagliare la corrente di conduzione all'esterno dello stesso; corrente di conduzione che chiaramente è costante, per caricare "uniformemente" il condensatore.
Quindi non sbagli nell'applicare Ampere-Maxwell, ma molto più semplicemente puoi osservare che la corrente di spostamento, uguagliando quella di conduzione, porterà sì internamente ad un campo magnetico funzione (lineare) crescente della distanza dall'asse del condensatore, ma per distanze superiore al raggio delle armature, ovvero esternamente al condensatore, il campo risulterà uguale a quello prodotto da una pari corrente di conduzione concentrata sull'asse e inversamente proporzionale alla distanza dal medesimo.
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