Campo magnetico al centro di una spira quadrata
Salve a tutti,
sto trovando non poche difficoltà davanti a questo problema, così ho deciso di postarlo qua per vedere se qualcuno riuscisse ad aiutarmi
Dunque io avevo pensato di suddividere il campo totale in quattro campi generati dai vari lati della spira quadrata, quidni consideravo un piccolo tratto di filo $dl$ e quindi per la prima legge di Laplace
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (dl ^^ \hat u_r)/(r^2)$
Inoltre noto che su ogni lato, la distanza dal centro varia da $-Lsqrt(2)/2 $ a $+Lsqrt(2)/2$, allora decido di integrare su tutta la lunghezza del lato al fine di trovare il campo complessivo che un singolo lato mi genera, quindi
$B = (\mu_0*i)/(4\pi) \int_{-Lsqrt(2)/2}^{+Lsqrt(2)/2} (dl ^^ \hat u_r)/(r^2)$
Ma qua mi blocco in quanto non capisco come sviluppare il modulo del prodotto vettoriale, dal momento che non capisco quale sia l'angolo tra $dl$ e $\hat u_r$
sto trovando non poche difficoltà davanti a questo problema, così ho deciso di postarlo qua per vedere se qualcuno riuscisse ad aiutarmi
Dunque io avevo pensato di suddividere il campo totale in quattro campi generati dai vari lati della spira quadrata, quidni consideravo un piccolo tratto di filo $dl$ e quindi per la prima legge di Laplace
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (dl ^^ \hat u_r)/(r^2)$
Inoltre noto che su ogni lato, la distanza dal centro varia da $-Lsqrt(2)/2 $ a $+Lsqrt(2)/2$, allora decido di integrare su tutta la lunghezza del lato al fine di trovare il campo complessivo che un singolo lato mi genera, quindi
$B = (\mu_0*i)/(4\pi) \int_{-Lsqrt(2)/2}^{+Lsqrt(2)/2} (dl ^^ \hat u_r)/(r^2)$
Ma qua mi blocco in quanto non capisco come sviluppare il modulo del prodotto vettoriale, dal momento che non capisco quale sia l'angolo tra $dl$ e $\hat u_r$
Risposte
"leonsirio":
non capisco come sviluppare il modulo del prodotto vettoriale, dal momento che non capisco quale sia l'angolo tra $dl$ e $\hat u_r$
Il prodotto vettoriale $vecdl times vec u_r$ è costante lungo tutto il lato, e vale $l/2dl$, dato che quel che conta nel prodotto è la componente di $vec u_r$ perpendicolare a $vec dl$
Scusa ma non sto capendo, non riesco a visualizzarli nello spazio. Come fanno ad essere perpendicolari?
Non sono perpendicolari. Ma il modulo di $vec A times vec B$ è $A*B*sin theta$, dove $theta$ è l'angolo formato dai due vettori. Questo equivale a scomporre uno dei due vettori (A per es) nelle due componenti parallela e perpendicolare all'altro (B), e poi moltiplicare B per la componente di A perpendicolare a B.
Quindi quando vuoi trovare $vec (dl) times vec u_r$, puoi scomporre $vec u_r$ nella parte parallela a $vec dl$ (che è variabile, ma non conta) e in quella perpendicolare, che vale sempre $l/2$
Quindi quando vuoi trovare $vec (dl) times vec u_r$, puoi scomporre $vec u_r$ nella parte parallela a $vec dl$ (che è variabile, ma non conta) e in quella perpendicolare, che vale sempre $l/2$
Okok forse sono un po' più vicino alla comprensione, ma ancora non ho capito perchè $\hat u_r$ sia uguale a $l/2$. Cioè $\hat u_r$ non dovrebbe essere il versore che indica la direzione relativa alla distanza del $dl$ dal centro?
Ah, pensavo fosse proprio il vettore dal centro a $dl$, e quel che ti ho detto si riferisce a questo.
Scusami, ma continuo a non capire
Il campo magnetico lo calcoli con la prima legge di Laplace, che tu hai scritto
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (vec (dl) times vec u_r)/(r^2)$
e puoi anche scrivere
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (vec (dl) times vec r)/(r^3)$
Quel che volevo dire è che il prodotto $vec (dl) times vec r$ è costante, e vale $L/2dl$, come puoi vedere da questo disegnetto
(dove le due freccette verticali rappresentano due $dl$, le due frecce che escono da C rappresentano due $r$, C è il centro del quadrato)
per cui alla fine ti resta solo da calcolare l'integrale $int_(-L/2)^(L/2)(dl)/r^3$, dove $r$ va espresso in funzione di $l$ come $r = sqrt((L/2)^2 + l^2)$
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (vec (dl) times vec u_r)/(r^2)$
e puoi anche scrivere
$dB = (\mu_0*i)/(4\pi) * (vec (dl) times vec r)/(r^3)$
Quel che volevo dire è che il prodotto $vec (dl) times vec r$ è costante, e vale $L/2dl$, come puoi vedere da questo disegnetto
(dove le due freccette verticali rappresentano due $dl$, le due frecce che escono da C rappresentano due $r$, C è il centro del quadrato)
per cui alla fine ti resta solo da calcolare l'integrale $int_(-L/2)^(L/2)(dl)/r^3$, dove $r$ va espresso in funzione di $l$ come $r = sqrt((L/2)^2 + l^2)$
Sei stato gentilissimo, ho capito grazie mille
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