Campo inversmente proporzionale al raggio di curvatura

[baldo891]

Supponiamo di avere un conduttore di forma qualunque in condizione di equilibrio elettrostatico. Sappiamo che in queste condizioni $E=0$ quindi la superfice é equipotenziale e per il teorema di coulomb il campo nelle immediate vicinanze della superfice é uguale $E=sigma/epsilon$. Quindi maggiore é la densità di carica maggiore é il campo. Giunti a questo punto il libro scrive che la densità di carica é inversamente proporzionale al raggio di curvatura, ma non lo dimostra. Voi me lo sapreste dire il perchè?

[Fox4]

le due cose non credo siano collegate... il teorema di coulomb è un'approssimazione, pensando che nelle vicinanze il corpo venga "visto" da un'ipotetica carica come un piano infinito di distribuzione uniforme di carica.

Il fatto della densità di carica dipendente dalla curvatura è un fatto che io ho sempre preso in maniera intuitiva:
pensa di avere un foglio elastico steso su cui vai a fare delle tacchette a distanza regolare ad esempio 1 micron; in quei punti immagina di avere una carica (positiva o negativa).
A questo punto se pieghi il foglio, a seconda di come lo pieghi potrai deformarlo elasticamente e quindi avvicinare o allontanare le tacchette; perciò modificare la densità delle cariche. Il massimo di deformazione ce l'hai nelle punte.
La cosa la potresti vedere matematicamente con la geometria differenziale che ti dice come si modifica la metrica di un varietà "spiegazzata"...

Spero che qualcuno più esperto di me mi smentisca con una spiegazione più fisica!

[enr87]

a me hanno detto che la dimostrazione è molto difficle, ma si può avere una verifica di questo fatto prendendo due sfere conduttrici di raggio diverso a potenziali differenti e ad una distanza molto grande, e notando che quando si collegano (trascurando la carica che si accumula sul filo), la ddp si annulla. da questo si deduce che la densità di carica è inversamente proporzionale al raggio.

ps: per caso hai il nigro voci di fisica 2?

[baldo891]

Problema risolto, ho trovato la dimostrazione per un caso particolare (quello che ha descritto enr87) sul Mazzoldi Nigro Voci pag 93 esempio 4.2. In questo caso é molto semplice, ma dimostrarlo per un corpo di forma qualunque é un altra storia.

[enr87]

in realtà non è una vera e propria dimostrazione (il filo avrà una carica), ma quantomeno dà un'idea.
visto che studi anche tu fisica 2, potresti dare un'occhiata al thread che ho aperto sullo schermo elettrostatico( https://www.matematicamente.it/forum/sch ... 48191.html )? trovi la dimostrazione incriminata al capitolo dei conduttori (mi pare sia quello dopo gauss).