Campo elettrostatico disco
Salve a tutti ,
ho appena cominciato il corso di Fisica 2 e sono alle prese con i compi elettrici generati da distribuzioni continue di carica.
In particolare mi trovo a calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione superficiale uniforme di carica su un disco sottile di raggio R. Per l'espressione del campo non ho avuto problemi , questa è l'espressione del campo $E$ lungo l'asse del disco :
$E$ $(x,0) $ = $ (sigma) /(2varepsilon )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$ .
Ora il problema è questo , quando mi allontano dal disco , dovrei ottenere una dipendenza quadratica dalla distanza , la distribuzione di carica è vista come un punto ect ect.. Non riesco a ottenere questa espressione del campo perchè quando " trascuro $R$ rispetto a $x$ mi viene 0 , cosa che mi aspetto ad una distanza infinita dal disco.
i paramentri che ho usato sono $R$=raggio disco , $x$=distanza di un punto sull'asse del disco
ho appena cominciato il corso di Fisica 2 e sono alle prese con i compi elettrici generati da distribuzioni continue di carica.
In particolare mi trovo a calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione superficiale uniforme di carica su un disco sottile di raggio R. Per l'espressione del campo non ho avuto problemi , questa è l'espressione del campo $E$ lungo l'asse del disco :
$E$ $(x,0) $ = $ (sigma) /(2varepsilon )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$ .
Ora il problema è questo , quando mi allontano dal disco , dovrei ottenere una dipendenza quadratica dalla distanza , la distribuzione di carica è vista come un punto ect ect.. Non riesco a ottenere questa espressione del campo perchè quando " trascuro $R$ rispetto a $x$ mi viene 0 , cosa che mi aspetto ad una distanza infinita dal disco.
i paramentri che ho usato sono $R$=raggio disco , $x$=distanza di un punto sull'asse del disco
Risposte
Se il campo sull'asse del disco ha espressione
$E(x) = sigma/(2 epsilon_0 )(1- x/sqrt(R^2+x^2) )$,
allora, poiché $sigma=Q/(pi R^2)$, l'espressione del campo diventa
$E(x) = Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(1- x/sqrt(R^2+x^2))=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(sqrt(R^2+x^2)- x)/sqrt(R^2+x^2)=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(sqrt(R^2+x^2)- x)/sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x)/(sqrt(R^2+x^2)+ x)=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(R^2+x^2- x^2)/(sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x))=$
$ Q/(2 pi epsilon_0)1/(sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x))$.
Se $x >\> R$, allora è come se $R->0$, e il campo
$E(x)->Q/(2 pi epsilon_0)1/(sqrt(x^2)(sqrt(x^2)+ x))=$
$Q/(2 pi epsilon_0)1/(x(x+ x))=1/(4 pi epsilon_0)Q/x^2$.
$E(x) = sigma/(2 epsilon_0 )(1- x/sqrt(R^2+x^2) )$,
allora, poiché $sigma=Q/(pi R^2)$, l'espressione del campo diventa
$E(x) = Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(1- x/sqrt(R^2+x^2))=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(sqrt(R^2+x^2)- x)/sqrt(R^2+x^2)=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(sqrt(R^2+x^2)- x)/sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x)/(sqrt(R^2+x^2)+ x)=$
$ Q/(2 pi epsilon_0 R^2)(R^2+x^2- x^2)/(sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x))=$
$ Q/(2 pi epsilon_0)1/(sqrt(R^2+x^2)(sqrt(R^2+x^2)+ x))$.
Se $x >\> R$, allora è come se $R->0$, e il campo
$E(x)->Q/(2 pi epsilon_0)1/(sqrt(x^2)(sqrt(x^2)+ x))=$
$Q/(2 pi epsilon_0)1/(x(x+ x))=1/(4 pi epsilon_0)Q/x^2$.
Grazie.
come sei riuscito a calcolare questa? (non mi viene fuori il $\sigma$...)
"Light1992":
$E$ $(x,0) $ = $ (sigma) /(2varepsilon )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$ .
i paramentri che ho usato sono $R$=raggio disco , $x$=distanza di un punto sull'asse del disco
Forse ti viene questo risultato
$E$ $(x,0) $ = $ q/(2varepsilon \pi r^2 )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$
Ho solo sostituito $ sigma = q/(\pi r^2) $
$E$ $(x,0) $ = $ q/(2varepsilon \pi r^2 )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$
Ho solo sostituito $ sigma = q/(\pi r^2) $
"Light1992":
Forse ti viene questo risultato
$E$ $(x,0) $ = $ q/(2varepsilon \pi r^2 )$ $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$
Ho solo sostituito $ sigma = q/(\pi r^2) $
non mi viene quello tra parentesi, $(1- (x)/\sqrt{R^2+x^2} )$
Il termine tra parentesi , deriva dall 'integrazione di :
$x\int_{0}^{R}\ (rdr)/(r^2+x^2)^(3/2) $
nei tuoi calcoli devi arrivare a questo integrale. Al quale arrivi sostituendo $ cos\vartheta = x/[(r^2 + x^2)^ (1/2)] $
Comunque non faccio in tempo per ora a scrivere tutti i calcoli ,
li ho " postati " qui comunque http://tinypic.com/view.php?pic=if0lk3&s=5#.Ump4ulDxpt0.
$x\int_{0}^{R}\ (rdr)/(r^2+x^2)^(3/2) $
nei tuoi calcoli devi arrivare a questo integrale. Al quale arrivi sostituendo $ cos\vartheta = x/[(r^2 + x^2)^ (1/2)] $
Comunque non faccio in tempo per ora a scrivere tutti i calcoli ,
li ho " postati " qui comunque http://tinypic.com/view.php?pic=if0lk3&s=5#.Ump4ulDxpt0.
da Fundamentals of Physics Extended 9th-HQ-Halliday
grazie ragazzi! li leggerò entrambi![sul mencuccini-silvestrini questo argomento non è trattato, vi è solo l'anello carico uniformemente...]
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