Campo elettrostatico di una semicirconferenza
Buongiorno a tutti,
ho qualche dubbio circa la correttezza del procedimento che ho adottato per calcolare il campo elettrostatico nel centro di una semicirconfereza uniformemente carica, benché mi trovi con altre soluzioni trovate in rete. Di seguito i calcoli che ho seguito:
Considerato che la somma dei contributi infinitesimi lungo l'asse $y$ risulta nulla, possiamo limitarci esclusivamente ai contributi paralleli all'asse $x$:
$dE_x = (dq)/(4\pi\epsilon_0R^2)cos(\theta) = (\lambdads)/(4\pi\epsilon_0R^2)cos(\theta)$ dove $ds$ è un arco infinitesimo della semicirconferenza e $\theta$ l'angolo che il vettore $dE$ forma con l'asse $x$. A questo punto viene la parte in dubbio: impongo $ds = Rd\theta$ per poi passare a $E_x = (\lambda)/(4\pi\epsilon_0R)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\theta)d\theta = (2\lambda)/(4\pi\epsilon_0\R)$. Il dubbio sorge poiché l'angolo sotteso all'arco infinitesimo $ds$ non coincide con quello che il contributo infinitesimo $dE_x$ forma con l'asse $x$, giusto? Per cui nell'integrale sto dando lo stesso nome a due variabili differenti, essendo l'angolo $d\theta$ diverso dall'argomento di $cos(\theta)$. Dove sbaglio? Premetto che non sono ancora molto ferrato con questo genere di integrali e non ho ben chiaro cosa succede "analiticamente" quando passo da $ds$ a $Rd\theta$, sebbene sia ovvio che $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} Rd\theta$.
Grazie a tutti in anticipo
ho qualche dubbio circa la correttezza del procedimento che ho adottato per calcolare il campo elettrostatico nel centro di una semicirconfereza uniformemente carica, benché mi trovi con altre soluzioni trovate in rete. Di seguito i calcoli che ho seguito:
Considerato che la somma dei contributi infinitesimi lungo l'asse $y$ risulta nulla, possiamo limitarci esclusivamente ai contributi paralleli all'asse $x$:
$dE_x = (dq)/(4\pi\epsilon_0R^2)cos(\theta) = (\lambdads)/(4\pi\epsilon_0R^2)cos(\theta)$ dove $ds$ è un arco infinitesimo della semicirconferenza e $\theta$ l'angolo che il vettore $dE$ forma con l'asse $x$. A questo punto viene la parte in dubbio: impongo $ds = Rd\theta$ per poi passare a $E_x = (\lambda)/(4\pi\epsilon_0R)\int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\theta)d\theta = (2\lambda)/(4\pi\epsilon_0\R)$. Il dubbio sorge poiché l'angolo sotteso all'arco infinitesimo $ds$ non coincide con quello che il contributo infinitesimo $dE_x$ forma con l'asse $x$, giusto? Per cui nell'integrale sto dando lo stesso nome a due variabili differenti, essendo l'angolo $d\theta$ diverso dall'argomento di $cos(\theta)$. Dove sbaglio? Premetto che non sono ancora molto ferrato con questo genere di integrali e non ho ben chiaro cosa succede "analiticamente" quando passo da $ds$ a $Rd\theta$, sebbene sia ovvio che $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} Rd\theta$.
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ti lascio una mia soluzione 'non standard' per la scelta dell'angolo; fammi sapere se capisci!
https://i.imgur.com/jUGhV9t.jpg
https://i.imgur.com/jUGhV9t.jpg
Ho capito il tuo procedimento, ma il dubbio continua a sussitere. L'angolo $d\theta$ è un angolo infinitesimo sottesso al relativo arco infinitesimo, mentre l'argomento del coseno (o del seno, a seconda dell'angolo che si considera) dipende esclusivamente dal punto sulla semicirconferenza che contiene la carica infinitesima. Non capisco quale relazione ci sia tra i due.
"Blowtorch":
nell'integrale sto dando lo stesso nome a due variabili differenti, essendo l'angolo $d\theta$ diverso dall'argomento di $cos(\theta)$.
Ma non stai dando lo stesso nome: uno lo chiami $theta$ e l'altro lo chiami $d theta$. Che poi è quel che succede in qualunque integrale; se calcoli $intxdx$, non è lo stesso?
Si, è vero, ma non riesco a comprendere matematicamente questo procedimento. Procedo per intuito, poiché so che $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} Rd\theta$ ma vorrei capirci di più. Sono abituato a vedere il $dx$ come un semplice grafema che mi indica la costante d'integrazione, scelta a propri a seconda dell'argomento della funzione da integrare. In questo caso, invece, passo da una costante all'altra...
attento, quella cosa con gli integrali non è vera, ricordati che vanno sostituiti gli estremi quando effettui una sostituzione!!
Per comprendere il mio procedimento (e quello che c'è dietro in generale) ti invito a pensare all'angolo come una variabile, tutto quello che ho scritto vale sempre.
Per comprendere il mio procedimento (e quello che c'è dietro in generale) ti invito a pensare all'angolo come una variabile, tutto quello che ho scritto vale sempre.
Il problema non è il cambio di variabile d'integrazione, ma proprio il fatto che il termine di una variabile espressa come prodotto diventa indicatore della variabile da integrare e perde il proprio valore matematico, o almeno e quello che a me sembra.
se può aiutarti: $l=r*theta$ => $dl=r*d theta$, ad ingegneria ci hanno giustificato tutte queste cose facendo così. Se qualcuno le ha affrontate in modo più rigoroso lascio a loro la parola, anche se a me, vederla come ti ho appena mostrato, ha chiarito molto! (se ci pensi è lo stesso principio di sostituzione fatto ad analisi)
La relazione tra arco e raggio come ho già detto mi è chiara, è solo che vorrei capirci di più poiché nell'esame di Fisica II il docente propone spesso problemi che richiedono il calcolo di integrali di superficie e vedo che non esiste un metodo universale per risolverli, ma va usata la logica.
ok perdonami, avevo capito male io leggendo questo:
stavo cercando di correggerlo, ma magari è stata solo una svista.
sebbene sia ovvio che $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} Rd\theta$.
stavo cercando di correggerlo, ma magari è stata solo una svista.
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