Campo elettrostatico di due conduttori sferici
E' sicuramente un esercizio banale ma mi imbroglio facilmente nell'utilizzare le distanze...
Si considerino due conduttori sferici di raggio $ R_1=1mm $ e $ R_2=2mm $ posti sull'asse delle ascisse in modo che i loro centri siano separati dalla distanza $ d=5mm $ . Presi i punti A e B, sempre sull'asse delle ascisse, coincidenti con la superficie dei due conduttori rispettivamente e distanti $ d_(AB)=2mm $ si osserva che $ E_A=0 $, mentre $ E_B=1V/m $ diretto verso l'esterno del conduttore di raggio $ R_2 $. Determinare le cariche su ognuno dei due conduttori.
Si considerino due conduttori sferici di raggio $ R_1=1mm $ e $ R_2=2mm $ posti sull'asse delle ascisse in modo che i loro centri siano separati dalla distanza $ d=5mm $ . Presi i punti A e B, sempre sull'asse delle ascisse, coincidenti con la superficie dei due conduttori rispettivamente e distanti $ d_(AB)=2mm $ si osserva che $ E_A=0 $, mentre $ E_B=1V/m $ diretto verso l'esterno del conduttore di raggio $ R_2 $. Determinare le cariche su ognuno dei due conduttori.
Risposte
beh dunque, in un punto a distanza d dal conduttore sferico (ma al di fuori di esso o al più sulla superficie) il campo elettrico dovuto alla carica Q del conduttore vale in modulo $E = k Q/d^2$. Entrambe le sfere (o meglio, i loro centri) ed i punti A e B sono sull'asse x, quindi non devi preoccuparti nemmeno dei vettori 
A questo punto trova l'espressione per entrambi i campi in entrambi i punti: considera che A si trova a distanza 1 dal primo centro e 4 dal secondo, mentre B è a distanza 3 dal primo centro e 2 dal secondo. Quindi sommando i campi generati da ciascuna sfera in A otterrai il campo totale in A, e lo stesso per B. Infine eguaglia queste espressioni ai risultati che ti dà il testo per i campi e metti a sistema. Otterrai un sistemino di due equazioni in due incognite (le cariche) che vai a risolvere per poi volare alla soluzione.
Ah, potresti voler convertire tutte le distanze in metri dai mm, così almeno viene tutto in unità di misura standard.
A questo punto trova l'espressione per entrambi i campi in entrambi i punti: considera che A si trova a distanza 1 dal primo centro e 4 dal secondo, mentre B è a distanza 3 dal primo centro e 2 dal secondo. Quindi sommando i campi generati da ciascuna sfera in A otterrai il campo totale in A, e lo stesso per B. Infine eguaglia queste espressioni ai risultati che ti dà il testo per i campi e metti a sistema. Otterrai un sistemino di due equazioni in due incognite (le cariche) che vai a risolvere per poi volare alla soluzione.
Ah, potresti voler convertire tutte le distanze in metri dai mm, così almeno viene tutto in unità di misura standard.
Quindi dovrei scrivere: $ E_B=(kq_2)/R_2^2+(kq_1)/(d_(AB)+R_1^2) $ e $ E_A=(kq_2)/(d_(AB)+R_2)^2+(kq_1)/R_1^2 $ e risolvere il sistema?
esatto. Occhio solo al secondo denominatore, il quadrato è per entrambi (ma immagino sia un errore di battitura).
si ho saltato delle parentesi ..Ti ringrazio!
..Ti ringrazio!
Quali sono i risultati?
purtroppo non sono esercizi tratti dal libro.. non ho i risultati 
No no, intendevo i tuoi, ovvero le due cariche ricavate da quel sistema. 
A dire la verità il calcolo è abbastanza articolato e laborioso..non sono riuscito a trovare ancora il risultato
"Granieri":
..non sono riuscito a trovare ancora il risultato
Te l'ho chiesto perché mi sembrava giorni fa di avere letto da qualche parte un tuo (più che legittimo) dubbio sulla possibilità di considerare facilmente risolvibile il problema, vista la vicinanza delle cariche.
Giusto per fare un paio di calcoli spannometrici direi che, ipotizzando che quella soluzione sia corretta, vorrebbe dire che la carica $q_2$ riesce ad annullare il campo di $q_1$ vicino alla sua superficie in A, ad una distanza quattro volte superiore e di conseguenza, $q_2$ dovrebbe essere ben 16 volte superiore a $q_1$.
Ora con un rapporto di 1 a 16, se possiamo anche supporre che la la distribuzione di $q_2$ sulla sua sfera non risenta molto dell'influenza della piccola carica $q_1$[nota]Che viene ad essere a sua volta ridotta di un fattore di influenza 3/2 sul punto B.[/nota] , non possiamo assolutamente pensare che la carica $q_2$ non vada drasticamente a modificare la distribuzione di $q_1$ sulla sua sfera!
Cade quindi, a mio parere, l'ipotesi di partenza di poter considerare le due sfere sufficientemente distanti per l'applicazione delle relazioni del sistema.
per RenzoDF: hai dannatamente ragione, siamo purtroppo di fronte al classico esercizio accademico, in cui si danno valori fastidiosi ed assurdi solo per mettere in difficoltà lo studente. Tanto per fare un esempio, poco fa ho visto un esercizio riguardante un condensatore piano nel quale si trova una carica in moto perpendicolarmente alle armature: ebbene, arrivata a metà strada tra le armature, magicamente queste si scaricavano istantaneamente e compariva dal nulla un campo magnetico che deviava la particella. Stessa faccenda, purtroppo queste assurdità sono necessarie o diventerebbe tutto più complicato.
per Granieri: cosa trovi di difficile nei conti? Non per fare il saputello ma se sostituisci tutti i valori numerici ti vengono due equazioni lineari a due incognite decisamente semplici. Con qualche mini accorgimento puoi risolvere il sistema sottraendo le righe, oppure ricavi una delle due variabili e la sostituisci brutalmente nell'altra equazione... semmai sono conti un po' lunghetti ma ti assicuro che c'è ben di peggio
per Granieri: cosa trovi di difficile nei conti? Non per fare il saputello ma se sostituisci tutti i valori numerici ti vengono due equazioni lineari a due incognite decisamente semplici. Con qualche mini accorgimento puoi risolvere il sistema sottraendo le righe, oppure ricavi una delle due variabili e la sostituisci brutalmente nell'altra equazione... semmai sono conti un po' lunghetti ma ti assicuro che c'è ben di peggio
Ho un'idea, ... se interessa, potrei simulare tramite analisi agli elementi finiti.
per RenzoDF: ad essere sincero non ho ipotizzato che la distanza fosse molto maggiore dei rispettivi raggi ma ho sfruttato l'informazione secondo la quale per un qualsiasi punto esterno ad una sfera uniformemente carica in superficie il campo elettrostatico sia equivalente a quello generato da una carica puntiforme di ugual valore posta al centro della sfera..
per poll89: ho provato a sostituire brutalmente ma fuoriescono potenze alla quarta e una serie infinita di termini promiscui che richiedono un attento raccoglimento parziale per poter poi semplificare.. in ogni caso i calcoli non sono ritenuti importantissimi dal mio prof al contrario del filo logico per risolvere l'esercizio.. conta molto l'impostazione ,diciamo cosi
per poll89: ho provato a sostituire brutalmente ma fuoriescono potenze alla quarta e una serie infinita di termini promiscui che richiedono un attento raccoglimento parziale per poter poi semplificare.. in ogni caso i calcoli non sono ritenuti importantissimi dal mio prof al contrario del filo logico per risolvere l'esercizio.. conta molto l'impostazione ,diciamo cosi
"Granieri":
... ad essere sincero non ho ipotizzato che la distanza fosse molto maggiore dei rispettivi raggi ma ho sfruttato l'informazione secondo la quale per un qualsiasi punto esterno ad una sfera uniformemente carica in superficie il campo elettrostatico sia equivalente a quello generato da una carica puntiforme di ugual valore posta al centro della sfera..
E secondo te queste due sfere sono "uniformenente cariche", ovvero, come suppongo tu intenda dire hanno una densità di carica superficiale costante?
Se per la più seconda, come dicevo un paio di post fa, posso anche essere d'accordo che si sia vicini ad una distribuzione uniforme, non così è per la prima.
"Granieri":
... ho provato a sostituire brutalmente ma fuoriescono potenze alla quarta e una serie infinita di termini promiscui che richiedono un attento raccoglimento parziale per poter poi semplificare..
Che escano cose indicibili non direi, ovviamente non mi metto io a fare i calcoli, ma lo faccio fare a Maxima inserendo solo le due equazioni; il risultato è il seguente
se qualcuno volesse confermare.
ah beh se ci riferiamo al caso reale evidentemente non è cosi, la densità di carica non sarebbe più costante sulle sfere..
in ogni caso per i calcoli la mia difficoltà era riferita al ricavare l'espressione più semplice possibile per entrambe le cariche vabè ma ripeto la semplificazione dei calcoli non mi interessa più di tanto
in ogni caso per i calcoli la mia difficoltà era riferita al ricavare l'espressione più semplice possibile per entrambe le cariche
vabè ma ripeto la semplificazione dei calcoli non mi interessa più di tanto
"Granieri":
ah beh se ci riferiamo al caso reale evidentemente non è cosi, la densità di carica non sarebbe più costante sulle sfere..
Se non consideriamo la realtà, ovvero vogliamo far finta di nulla sul problema della prossimità, penso non ci sia altro da discutere; si applicano quelle errate equazioni e amen.
"Granieri":
... in ogni caso per i calcoli la mia difficoltà era riferita al ricavare l'espressione più semplice possibile per entrambe le cariche
Anche in questo caso, visto che per me sono i calcoli la parte più importante, lascio la discussione.
Non so per quale coincidenza astrale io e Granieri abbiamo postato lo stesso esercizio, io giorno 2, lui il 3.
Nel caso specifico ho considerato i fenomeni di induzione elettrostatica, essendo la distanza relativa non elevata. Tuttavia nel mio thread mi hanno consigliato di non considerarli.
Posterò più tardi i risultati.
Nel caso specifico ho considerato i fenomeni di induzione elettrostatica, essendo la distanza relativa non elevata. Tuttavia nel mio thread mi hanno consigliato di non considerarli.
Posterò più tardi i risultati.
"emanuele78":
... Posterò più tardi i risultati.
Ecco, bravo, poi proviamo a vedere quanto "reali" sono, via simulazione.
Visto che oggi avevo tempo per farlo, ho simulato il problema con FEMM (sofware gratuito che di sicuro molti conosceranno http://www.femm.info/wiki/HomePage )
per andare a vedere il campo prodotto dalle due cariche ricavate applicando le relazioni teoriche $q_1=28.6 \text( aC)$ e $q_2=458 \text( aC)$ ; ecco il risultato per i "curiosi" del Forum
e l'andamento sui punti del segmento che congiunge le superfici dalle due sfere
Come si nota, mentre in prossimità della sfera con carica q2 il campo è praticamente uguale a quello teorico,sulla superficie della seconda sfera il campo non risulta per nulla nullo ... ma è bensì intorno a 0.45 V/m, lascio a Voi commentare il risultato.
per andare a vedere il campo prodotto dalle due cariche ricavate applicando le relazioni teoriche $q_1=28.6 \text( aC)$ e $q_2=458 \text( aC)$ ; ecco il risultato per i "curiosi" del Forum
e l'andamento sui punti del segmento che congiunge le superfici dalle due sfere
Come si nota, mentre in prossimità della sfera con carica q2 il campo è praticamente uguale a quello teorico,sulla superficie della seconda sfera il campo non risulta per nulla nullo
... ma è bensì intorno a 0.45 V/m, lascio a Voi commentare il risultato.
interessante il diagramma a colori!! E ti ringrazio per la precisione
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