Campo elettrico totale piano e sfera
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di una mano nella risoluzione del seguente esercizio.
Si consideri un piano orizzontale indefinito di spessore x e densità di carica volumetrica
ρ. Il piano è tangente ad una sfera di raggio R e densità di carica volumetrica
ρ0. Sia A il punto di tangenza piano-sfera e B il punto sul piano opposto ad A rispetto al
suo spessore. Dimostrare che il campo elettrico totale (sfera + piano) in B ha intensità
maggiore che in A se ρ > 2/3ρ0.
[Assumere x << R e utilizzare l’approssimazione$ \frac[1][(1 + ε)^2] ≈ 1 − 2ε$]
Io ho iniziato a ricavarmi i singoli campi del piano e della sfera, rispettivamente $E=\frac[\rhox][2\epsilon]$ e $E=\frac[4\piR^3\rho0][3r^2]$ ma se provo a cercare il campo totale per sovrapposizione non mi pare di ricavarne nulla di utile, men che meno l'approssimazione suggeritami nel testo.
Si consideri un piano orizzontale indefinito di spessore x e densità di carica volumetrica
ρ. Il piano è tangente ad una sfera di raggio R e densità di carica volumetrica
ρ0. Sia A il punto di tangenza piano-sfera e B il punto sul piano opposto ad A rispetto al
suo spessore. Dimostrare che il campo elettrico totale (sfera + piano) in B ha intensità
maggiore che in A se ρ > 2/3ρ0.
[Assumere x << R e utilizzare l’approssimazione$ \frac[1][(1 + ε)^2] ≈ 1 − 2ε$]
Io ho iniziato a ricavarmi i singoli campi del piano e della sfera, rispettivamente $E=\frac[\rhox][2\epsilon]$ e $E=\frac[4\piR^3\rho0][3r^2]$ ma se provo a cercare il campo totale per sovrapposizione non mi pare di ricavarne nulla di utile, men che meno l'approssimazione suggeritami nel testo.
Risposte
Come al solito ti fai spaventare da una relazione matematica, prova a scriverli questi due campi e a vedere sotto quale condizione è verificata quella relazione d'ordine fra i due.
Ti faccio solo notare che quella approssimazione è applicabile solo per \(\epsilon\ll 1\), (epsilon che non ha nulla a che vedere con la costante dielettrica), e quindi solo per spessori del piano molto piccoli rispetto al raggio della sfera, una condizione indispensabile che stranamente non leggo nel testo da te postato; esiste sul testo originale? (Vedo solo ora che probabilmente ti sei dimenticato di scrivere il \(\ll\) fra x e R).
Ti faccio solo notare che quella approssimazione è applicabile solo per \(\epsilon\ll 1\), (epsilon che non ha nulla a che vedere con la costante dielettrica), e quindi solo per spessori del piano molto piccoli rispetto al raggio della sfera, una condizione indispensabile che stranamente non leggo nel testo da te postato; esiste sul testo originale? (Vedo solo ora che probabilmente ti sei dimenticato di scrivere il \(\ll\) fra x e R).
Non manca un $\epsilon$ nel campo della sfera?
Hai notato che in B i campi si sommano e in A si sottraggono?
Hai pensato ai casi limite?
Cosa succede se $\rho$ è zero?
Cosa succede se $\rho_0$ è zero?
Hai notato che in B i campi si sommano e in A si sottraggono?
Hai pensato ai casi limite?
Cosa succede se $\rho$ è zero?
Cosa succede se $\rho_0$ è zero?
"RenzoDF":
(Vedo solo ora che probabilmente ti sei dimenticato di scrivere il \(\ll\) fra x e R).
Si hai ragione, copiando il testo mi è sfuggito il <<
"RenzoDF":
Come al solito ti fai spaventare da una relazione matematica, prova a scriverli questi due campi e a vedere sotto quale condizione è verificata quella relazione d'ordine fra i due.
Se non avessi difficoltà e non mi spaventassi probabilmente non sarei qua a chiedere aiuto
"mgrau":
Non manca un $ \epsilon $ nel campo della sfera?
Hai notato che in B i campi si sommano e in A si sottraggono?
Hai pensato ai casi limite?
Rispettivamente: può essere poichè non sono sicuro che sia corretto; non ci ho fatto caso; non ho pensato ai casi limite.
Io mi ero impuntato sul fatto che quell $\epsilon$ nell'approssimazione fosse la costante dielettrica, non una distanza generica.
"Fuuzz":
... non una distanza generica.
Non proprio una distanza, ma un rapporto fra due lunghezze, ovvero \(\epsilon=x/R\); nel contributo al campo prodotto dalla sfera in B ti troverai infatti una inversa proporzionalità con $(R+x)^2$, che potrai portare nella forma \(R^2(1+\epsilon)^2\), al fine di utilizzare l'approssimazione suggerita dal testo [nota]Primi due termini dell'importantissimo sviluppo di \((1+\epsilon)^\alpha\), per \(\epsilon \ll 1\).[/nota].
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