Campo elettrico su lastra piana

[Grezzus]

Salve, devo risolvere il seguente problema:
Una lastra piana di materiale non conduttore ha spessore 2d piccolo rispetto alle altre due dimensioni. Si introduce un sistema di coordinate cartesiane con l'asse x allineato con lo spessore della piastra e con l'origine al centro di questa. Sulla piastra è presente una densità di carica volumetrica ρ(x)=-ρ0 nella regione con -d
Guardando la soluzione sono rimasto perplesso. Si utilizza il principio di sovrapposizione (e fin qui c'ero arrivato), considerando una distribuzione di carica alla volta, e poi si utilizza il teorema di Gauss (alla fine sommerò le componenti del campo, e qui ok). Mi riferisco, qui, solo al calcolo relativo alla prima distribuzione (per la seconda è analogo).
Per il calcolo del campo con x>d e x<0 non ci sono problemi, ma quello che non mi torna è il calcolo con 0 $E=2ρ(x-d/2)/(εo)$
Vi ringrazio per l'aiuto in anticipo e vi allego la soluzione con l'immagine relativa al problema. Se c'è bisogno di altre informazioni oppure ho sbagliato a impostare il topic, vi prego di dirmelo!

[mgrau]

Ti suggerisco una soluzione completamente discorsiva. Chissà se questo approccio ti piace...
Capita questa, la trasformazione nelle formule canoniche è facile.
Allora: la lastra è di fatto formata da due lastre, una positiva, una negativa.
Al di fuori delle lastre, cioè, sia per x > d che per x < -d, che anche per x = 0 le lastre si comportano come un piano - lo spessore non importa, e la distanza non importa. La carica dei piani è quella totale delle lastre. Quindi: il campo per x = 0 è quello che si avrebbe fra due piani con cariche opposte.
Per x > d e x < -d il campo è nullo.
Per i punti fra d e -d, il campo si raccorda linearmente fra il valore massimo al centro e il valore nullo agli estremi.
Graficamente, si ha una linea coincidente con lo zero al di fuori di -d, +d, e ha l'aspetto di un tetto a due falde nella parte centrale. La direzione è sempre dal + al -

[Grezzus]

Grazie per la risposta!
Il ragionamento fila, però continuo a non spiegarmi perché algebricamente ciò sia vero.
Cioè, prendendo un cilindro come superficie, mi risulta che
$2EA=ρV/(εo)=ρA2d/(εo)$,
in cui il 2 a sinistra è perché considero le due basi del cilindro (unici pezzi il cui vettore area è parallelo risp. al campo) e 2d a destra è lo spessore della parte di lastra inglobata nel cilindro.
Ho cominciato da poco questa parte quindi non ho ancora molta dimestichezza.

[mgrau]

"Lucenzo":
Per il calcolo del campo con x>d e x<0 non ci sono problemi,

Guarda che lo zero è nel mezzo della lastra, cioè cariche positive per x > 0, negative per x < 0

"Lucenzo":ma quello che non mi torna è il calcolo con 0

Ti è chiaro che il campo è massimo al centro? Per x = 0? Allora E non può essere proporzionale a x. E è proporzionale alle cariche esterne all'intervallo x,-x non a quelle interne

[Grezzus]

Perché a quelle esterne?

[mgrau]

Le cariche esterne sono equivalenti a due piani che racchiudono il punto, e producono un campo diverso da zero.
Quelle interne sono equivalenti a due piani rispetto ai quali il punto è esterno, e il loro campo è nullo

[Grezzus]

Però se io considero una distribuzione alla volta e prendo un cilindro con la base concentrica al punto da analizzare, considero le cariche interne al cilindro no?

[mgrau]

"Lucenzo":Però se io considero una distribuzione alla volta e prendo un cilindro con la base concentrica al punto da analizzare, considero le cariche interne al cilindro no?

Non capisco come vuoi prendere questo cilindro, puoi mettere una figura?

[Grezzus]

Ecco qui.

[mgrau]

Sono io che vedo male, o quelle frecce, che immagino rappresentino i vettori del campo elettrico, sono paralleli alla lastra?
E, se non lo sono, proprio non capisco che direzione hanno

[Grezzus]

Sì... è sbagliato vero?

[mgrau]

"Lucenzo":Sì... è sbagliato vero?

Eh... è sbagliato sì... il campo elettrico di una distribuzione piana di cariche è perpendicolare al piano...
Credo che dovresti riguardarti l'argomento dall'inizio...

[Grezzus]

No mi sa proprio che non ho capito bene il testo
Non è che potresti dirmi tu come lo calcoleresti il campo per x compreso tra 0 e d? Perché non mi viene proprio in nessun modo

[mgrau]

"Lucenzo":Non è che potresti dirmi tu come lo calcoleresti il campo per x compreso tra 0 e d? Perché non mi viene proprio in nessun modo

Ma te l'ho già detto: il campo al centro (x = 0) è quello che avresti fra due piani carichi, che possiedono l'intera carica delle lastre (immagina di schiacciare le lastre per ridurle ad un piano senza spessore). Il valore del campo lo trovi con una delle prime formule di elettrostatica.
Allontanandosi dal centro il campo decresce linearmente da entrambi i lati, e si azzera per x = d e x = -d

"Lucenzo":No mi sa proprio che non ho capito bene il testo

Forse, più che il testo, è proprio la teoria che non hai capito bene...

[Grezzus]

Mi sono dimenticato di scriverlo, comunque ho fatto un po' di esercizio e alla fine mi è venuto.
Grazie!!