Campo elettrico sfera con cavità
Salve a tutti, sono alle prese con un problema di fisica II.
Come si vede nella figura che vi ho allegato, si ha2 sfere, una centrata in O(0,0,0) di raggio R e una centrata in O' a distanza R/2 dal centro O, con raggio a di carica opposta (in questo modo si è creata una cavità sferica).
Il problema richiede, supposta la densità di carica costante, di calcolare il campo elettrico all'interno della cavità.
Io ho ragionato nel modo seguente:
1) Considero solo la sfera più grande, che crea un campo radiale \(\displaystyle E=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}
\) quando ci si trova all'interno (essendo la cavità, all'interno della sfera stessa)
2) Sovrappongo ora una sfera con un campo negativo a distanza R/2 dal centro. A sua volta questa sfera creerà un campo (riferito all'origine O): \(\displaystyle E=-\frac{\rho(\frac{R}{2}-r)}{3\epsilon_{0}} \), se ci troviamo al suo interno
3) Per il principio di sovrapposizione ottengo che: \(\displaystyle E=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}-\frac{\rho(\frac{R}{2}-r)}{3\epsilon_{0}}=\frac{\rho(2r-\frac{R}{2})}{3\epsilon_{0}} \) per un punto interno alla cavità a distanza r dal centro O
Purtroppo non sono convinto a pieno del passaggio n.3, qualcuno mi sa confermare? Grazie a tutti
EDIT: Mi sono accorto di un errore in quanto faccio la somma di due vettori considerandoli come numeri (quindi dovrebbe essere valido solo per un punto situato sulla congiungente dei due centri), provo di risolvere aspettando comunque delucidazioni piu formali
Come si vede nella figura che vi ho allegato, si ha2 sfere, una centrata in O(0,0,0) di raggio R e una centrata in O' a distanza R/2 dal centro O, con raggio a di carica opposta (in questo modo si è creata una cavità sferica).
Il problema richiede, supposta la densità di carica costante, di calcolare il campo elettrico all'interno della cavità.
Io ho ragionato nel modo seguente:
1) Considero solo la sfera più grande, che crea un campo radiale \(\displaystyle E=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}
\) quando ci si trova all'interno (essendo la cavità, all'interno della sfera stessa)
2) Sovrappongo ora una sfera con un campo negativo a distanza R/2 dal centro. A sua volta questa sfera creerà un campo (riferito all'origine O): \(\displaystyle E=-\frac{\rho(\frac{R}{2}-r)}{3\epsilon_{0}} \), se ci troviamo al suo interno
3) Per il principio di sovrapposizione ottengo che: \(\displaystyle E=\frac{\rho r}{3\epsilon_{0}}-\frac{\rho(\frac{R}{2}-r)}{3\epsilon_{0}}=\frac{\rho(2r-\frac{R}{2})}{3\epsilon_{0}} \) per un punto interno alla cavità a distanza r dal centro O
Purtroppo non sono convinto a pieno del passaggio n.3, qualcuno mi sa confermare? Grazie a tutti
EDIT: Mi sono accorto di un errore in quanto faccio la somma di due vettori considerandoli come numeri (quindi dovrebbe essere valido solo per un punto situato sulla congiungente dei due centri), provo di risolvere aspettando comunque delucidazioni piu formali
Risposte
La formula è solamente corretta per punt sulla retta OO'.
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