Campo elettrico semicirconferenza
Buongiorno, ho qualche problema con la risoluzione di un esercizio.
Testo: Su una sottile bacchetta di materiale isolante, piegata in modo da formare una semicirconferenza di raggio R, è distribuita uniformemente una carica q. Calcolare il campo elettrico E nel centro O.
Io ho fatto così:
$ lambda =Q/(piR)=(dq)/(dl) $ allora $ dq=lambdadl=lambdaRdvartheta $
\( d\overrightarrow{E_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_1 \overrightarrow{u_x}-cos\vartheta_1\overrightarrow{u_y}) \)
\( d\overrightarrow{E_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_2 \overrightarrow{u_x}+cos\vartheta_2\overrightarrow{u_y}) \)
Dato che \( \vartheta _1=\vartheta _2 \) (perché li faccio partire insieme), allora:
\( d\overrightarrow{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}+\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x}) \)
\( \int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x})=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2\int -sin\vartheta d \vartheta=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos \vartheta]^{0}_{\pi/2}=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos0]=\frac{-2\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2} \)
Dunque:
\( \overrightarrow{E}=\frac{Q}{\pi R} \frac{-2 R}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_x} =\frac{-2Q}{4\varepsilon_o(R \pi)^2}\overrightarrow{u_x} \)
Il libro giunge allo stesso risultato ma senza il \( - \) facendo così:
inoltre integra da \( \frac{\pi}{2} \) e \( -\frac{\pi}{2} \) (A tal proposito perché non integra tra 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e poi moltiplica per 2?)
Spero di essermi spiegato bene, grazie in anticipo!
Testo: Su una sottile bacchetta di materiale isolante, piegata in modo da formare una semicirconferenza di raggio R, è distribuita uniformemente una carica q. Calcolare il campo elettrico E nel centro O.
Io ho fatto così:
$ lambda =Q/(piR)=(dq)/(dl) $ allora $ dq=lambdadl=lambdaRdvartheta $
\( d\overrightarrow{E_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_1 \overrightarrow{u_x}-cos\vartheta_1\overrightarrow{u_y}) \)
\( d\overrightarrow{E_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(sin\vartheta_2 \overrightarrow{u_x}+cos\vartheta_2\overrightarrow{u_y}) \)
Dato che \( \vartheta _1=\vartheta _2 \) (perché li faccio partire insieme), allora:
\( d\overrightarrow{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_1}+\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_2}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x}) \)
\( \int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(2sin\vartheta\overrightarrow{u_x})=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2\int -sin\vartheta d \vartheta=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos \vartheta]^{0}_{\pi/2}=\frac{-\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2}2[cos0]=\frac{-2\lambda R}{4\pi\varepsilon_oR^2} \)
Dunque:
\( \overrightarrow{E}=\frac{Q}{\pi R} \frac{-2 R}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u_x} =\frac{-2Q}{4\varepsilon_o(R \pi)^2}\overrightarrow{u_x} \)
Il libro giunge allo stesso risultato ma senza il \( - \) facendo così:
inoltre integra da \( \frac{\pi}{2} \) e \( -\frac{\pi}{2} \) (A tal proposito perché non integra tra 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e poi moltiplica per 2?)
Spero di essermi spiegato bene, grazie in anticipo!
Risposte
Scusa, ma l' $u_1$ non dev'essere $(cosϑ_1u_x−sinϑ_1u_y) $ ?
Le due modalità di integrazione sono equivalenti
Le due modalità di integrazione sono equivalenti
Nono, guarda bene l'immagine:
Va be', comunque, senza bisogno di spezzare in due il problema, poiché i $dE$ variano, in senso antiorario, da verticale in basso ($-pi/2 $) a verticale in alto $(pi/2)$, basta valutare, sui classici assi cartesiani, \( d\overrightarrow{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}\overrightarrow{u}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_oR^2}(cos\vartheta\overrightarrow{u_x}+sin\vartheta\overrightarrow{u_y}) \) , da cui :
$ E $ = $ int_(-pi/2)^(pi/2) frac (lambdaR )(4piepsilon_0R^2)(cosvartheta u_x +sinvartheta u_y)dvartheta = frac (Q)(4epsilon_0 pi^2R^2)[(sinvartheta u_x -cosvartheta u_y)]$ definito tra $-pi/2 e pi/2$, cioè
$ E =frac (+2Q)(4epsilon_0 pi^2R^2) u_x$
$ E $ = $ int_(-pi/2)^(pi/2) frac (lambdaR )(4piepsilon_0R^2)(cosvartheta u_x +sinvartheta u_y)dvartheta = frac (Q)(4epsilon_0 pi^2R^2)[(sinvartheta u_x -cosvartheta u_y)]$ definito tra $-pi/2 e pi/2$, cioè
$ E =frac (+2Q)(4epsilon_0 pi^2R^2) u_x$
Ho capito il tuo procedimento, effettivamente è più veloce del mio (oltre che corretto).
Ma ancora non capisco dove sbaglio.. più che altro perché anche un altro esercizio, simile, mi viene sbagliato di un segno..
Ma ancora non capisco dove sbaglio.. più che altro perché anche un altro esercizio, simile, mi viene sbagliato di un segno..
È che hai invertito l'ordine degli estremi d'integrazione: devono essere in ordine crescente ( da 0 a 90°,e non il contrario)
Ma soprattutto ti sei complicato l'esistenza scegliendoti angoli non adiacenti all'asse x, come da impostazione goniometrica standard, ma all'asse y
"brucosta":
È che hai invertito l'ordine degli estremi d'integrazione: devono essere in ordine crescente ( da 0 a 90°,e non il contrario)
Quindi dovrei mettere un -
Grazie mille!!
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