Campo Elettrico prodotto da una sbarretta

[Crispolto]

Ho provato a risolvere questo esercizio ma il risultato che trovo non è corretto, non capisco dove ho sbagliato.
Il testo è il seguente:


Inoltre non capisco se la distanza tra P e la sbarretta sia "L" o un "uno", quindi l'ho chiamata 'b'. Alla fine
sia che sia un "uno" che "L" non mi viene.
Ecco come ho fatto io:

Il campo prodotto da un piccolo elemento della sbarra è dato da
$dE = (k*dq)/r^2
Siccome dovrò integrare su y sostituisco $dq$ e $r$ così:
$dq = dy(Q/L) = dy*lambda$
e
$r = sqrt(y^2 + b^2)$ dove $b$ è la distanza tra il punto P e la sbarra
ottenendo
$dE = (k*lambda*dy)/(y^2 + b^2)$

Ora scompongo il campo nelle sue componenti x e y, $theta$ è l'angolo compreso tra l'asse x e
il segmento che congiunge il punto P con la cima della sbarretta:
$dE_x = dE cos(theta) = dE b/sqrt(y^2 + b^2) = (k*lambda*b*dy)/(y^2 + b^2)^(3/2)$
$dE_y = dE sin(theta) = dE y/sqrt(y^2 + b^2) = (k*lambda*y*dy)/(y^2 + b^2)^(3/2)$

Ora integro:
$E_x = k lambda b int_0^L dy/(y^2 + b^2)^(3/2) = k lambda b L/(b^2(L^2 + b^2)) = k lambda L/(b(L^2 + b^2))$
$E_y = k lambda int_0^L (y*dy)/(y^2 + b^2)^(3/2) = k lambda (-1/(L^2 + b^2))$

A questo punto uso pitagora per trovare la lunghezza del vettore $E$:
$E = sqrt(E_x^2 + E_y^2) = (k lambda) / (L^2 + b^2) sqrt( L^2/b^2 + 1 )$
e ponendo $b = L$ ottengo
$E = (k y)/(2L^2) sqrt(2)$
che è diverso da
$E = k lambda/L sqrt(2 - sqrt(2))$ che è il risultato corretto.

Dove ho sbagliato ???
Il risultato giusto è il mio o quello dell'esercizio ? Inizio a sospettare che il risultato dato dall'esercizio sia sbagliato, anche se questo mi sembra molto, molto strano.

Crispolto

p.s.:grazie a nirvana per la correzione

[nirvana2]

"Crispolto":Ho provato a risolvere questo esercizio ma il risultato che trovo non è corretto, non capisco dove ho sbagliato.
Il testo è il seguente:


Inoltre non capisco se la distanza tra P e la sbarretta sia "L" o un "uno", quindi l'ho chiamata 'b'. Alla fine
sia che sia un "uno" che "L" non mi viene.
Ecco come ho fatto io:

Il campo prodotto da un piccolo elemento della sbarra è dato da
$dE = (k*dq)/r^2
Siccome dovrò integrare su y sostituisco $dq$ e $r$ così:
$dq = dy(Q/L) = dy*lambda$
e
$r = sqrt(y^2 + b^2)$ dove $b$ è la distanza tra il punto P e la sbarra
ottenendo
$dE = (k*lambda*dy)/(sqrt(y^2 + b^2)$

Qua hai fatto un errore di trascrizione, non c'è la radice, infatti nei calcoli successivi usi la formula giusta...

"Crispolto":
Ora scompongo il campo nelle sue componenti x e y, $theta$ è l'angolo compreso tra l'asse x e
il segmento che congiunge il punto P con la cima della sbarretta:
$dE_x = dE cos(theta) = dE b/sqrt(y^2 + b^2) = (k*lambda*b*dy)/(y^2 + b^2)^(3/2)$
$dE_y = dE sin(theta) = dE y/sqrt(y^2 + b^2) = (k*lambda*y*dy)/(y^2 + b^2)^(3/2)$

Ora integro:
$E_x = k lambda b int_0^L dy/(y^2 + b^2) = k lambda b L/(b^2(L^2 + b^2)) = k lambda L/(b(L^2 + b^2))$
$E_y = k lambda int_0^L (y*dy)/(y^2 + b^2) = k lambda (-1/(L^2 + b^2))$

Dimentichi nell'integrando il $3/2$ ...