Campo elettrico prodotto da un anello carico per metà
Salve a tutti. Ho questo problema:
"Si supponga che la carica di un anello (densita lineare $\lambda$) sia distribuita solo sulla meta superiore.
Si determini il campo elettrico sui punti dell'asse dell'anello. (Livello dicolta:medio-alto)"
Ho immaginato l'anello posto col centro sull'origine degli assi con l'asse che giace su x.
Per il campo sull'asse x ho fatto
$dEx=(lambda dl)/(4pi r^2)cosTheta$
dove $r$ è la distanza che va da dl al punto P sull'asse dove voglio calcolare il campo
dove $lambda =q/(pi R)$
Con $cosTheta$ ho indicato l'angolo che tra la distanza del punto P su cui calcolo il campo e l'asse dell'anello (l'asse x) e rimane sempre costante
Quindi
$Ex=(lambda cosTheta hat(i) )/(4pi epsilon r^2)int_(l)^() dl= (lambda cosTheta hat(i) ) /(4pi epsilon r^2)pi Rhat(i)$
Ora se poniamo $r^2=R^2+x^2$ e $cosTheta =x/(sqrt(R^2+x^2) $ abbiamo
$Ex=(lambda Rx)/(4epsilon (R^2+x^2)^(3/2))hat(i)=(qx)/(4piepsilon(R^2+x^2)^(3/2))hat(i)$
che è uguale (nell'asse x) a quello che avremmo se fosse tutto carico.
Per Ey tutti i contributi si annullano tra loro.
Per Ez invece no e iniziano i problemi.
Non posso usare la formula precedente sostituendo al coseno il seno perché $sinTheta $ è costante invece il campo sull'asse z varia a seconda della posizione. Ai piedi del semianello si avrà che $Ez=0$ mentre sarà massimo in cima. Immagino quindi che dipenda da un altro angolo che chiamo $alpha$ che va da $0$ a $pi$.
Ai piedi sarà $(lambda sinTheta)/(4piepsilon r^2)\cdot 0dl $
In cima $(lambda sinTheta)/(4piepsilon r^2)\cdot 1dl$
quindi che vari con un seno. Avrò infine
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsilonr^2)piRhat(k)int_(0)^(pi) sinalpha dalpha $
svolgo l'integrale che da 2. Pongo
$sinTheta=R/sqrt(R^2+z^2) $
e avrò
$Ez=(lambdaR^2)/(2epsi(R^2+z^2)^(3/2))hatk$
E' giusto oppure sbaglio qualcosa? Dimensionalmente è esatto ma vuol dire poco. Inoltre mi sembra strano che il campo su x (asse dell'anello) non vari sia che ho tutto l'anello carico o solo mezzo anello o solo un quarto di anello.
mi cito " Inoltre mi sembra strano che il campo su x (asse dell'anello) non vari sia che ho tutto l'anello carico o solo mezzo anello o solo un quarto di anello."
Effettivamente varia perché q non è la stessa. Se ho un semianello e $lambda$ è lo stesso q sarà la metà.
Grazie per le risposte
"Si supponga che la carica di un anello (densita lineare $\lambda$) sia distribuita solo sulla meta superiore.
Si determini il campo elettrico sui punti dell'asse dell'anello. (Livello dicolta:medio-alto)"
Ho immaginato l'anello posto col centro sull'origine degli assi con l'asse che giace su x.
Per il campo sull'asse x ho fatto
$dEx=(lambda dl)/(4pi r^2)cosTheta$
dove $r$ è la distanza che va da dl al punto P sull'asse dove voglio calcolare il campo
dove $lambda =q/(pi R)$
Con $cosTheta$ ho indicato l'angolo che tra la distanza del punto P su cui calcolo il campo e l'asse dell'anello (l'asse x) e rimane sempre costante
Quindi
$Ex=(lambda cosTheta hat(i) )/(4pi epsilon r^2)int_(l)^() dl= (lambda cosTheta hat(i) ) /(4pi epsilon r^2)pi Rhat(i)$
Ora se poniamo $r^2=R^2+x^2$ e $cosTheta =x/(sqrt(R^2+x^2) $ abbiamo
$Ex=(lambda Rx)/(4epsilon (R^2+x^2)^(3/2))hat(i)=(qx)/(4piepsilon(R^2+x^2)^(3/2))hat(i)$
che è uguale (nell'asse x) a quello che avremmo se fosse tutto carico.
Per Ey tutti i contributi si annullano tra loro.
Per Ez invece no e iniziano i problemi.
Non posso usare la formula precedente sostituendo al coseno il seno perché $sinTheta $ è costante invece il campo sull'asse z varia a seconda della posizione. Ai piedi del semianello si avrà che $Ez=0$ mentre sarà massimo in cima. Immagino quindi che dipenda da un altro angolo che chiamo $alpha$ che va da $0$ a $pi$.
Ai piedi sarà $(lambda sinTheta)/(4piepsilon r^2)\cdot 0dl $
In cima $(lambda sinTheta)/(4piepsilon r^2)\cdot 1dl$
quindi che vari con un seno. Avrò infine
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsilonr^2)piRhat(k)int_(0)^(pi) sinalpha dalpha $
svolgo l'integrale che da 2. Pongo
$sinTheta=R/sqrt(R^2+z^2) $
e avrò
$Ez=(lambdaR^2)/(2epsi(R^2+z^2)^(3/2))hatk$
E' giusto oppure sbaglio qualcosa? Dimensionalmente è esatto ma vuol dire poco. Inoltre mi sembra strano che il campo su x (asse dell'anello) non vari sia che ho tutto l'anello carico o solo mezzo anello o solo un quarto di anello.
mi cito " Inoltre mi sembra strano che il campo su x (asse dell'anello) non vari sia che ho tutto l'anello carico o solo mezzo anello o solo un quarto di anello."
Effettivamente varia perché q non è la stessa. Se ho un semianello e $lambda$ è lo stesso q sarà la metà.
Grazie per le risposte
Risposte
Ciao!
Il tuo svolgimento è corretto, permettimi di dare un senso all'angolo $\alpha$ di cui ti sei servito: è l'angolo formato dall'asse $y$ ed il vettore posizione dell'elemento $dl$.
In maniera un po' più formale, il contributo al campo elettrico di ogni elemento dl è pari a
\[\displaystyle d\vec E = \frac{\lambda dl}{4\pi \epsilon}\frac{\hat r}{r^2}\]
da cui puoi ottenere le 3 componenti x,y e z proiettando sugli assi:
\[\displaystyle
dE_x = dE\cos\theta \\
dE_y=dE\sin\theta \cos\alpha \\
dE_z=dE\sin\theta \sin\alpha
\]
L'angolo $\alpha$, a differenza di $\theta$, dipende dall'elementino $dl$ di cui consideri il contributo, nello specifico è $dl = Rd\alpha$. A questo punto puoi procedere con l'integrazione ottenendo effettivamente $E_y=0$ e per $E_z$ l'espressione che hai ricavato.
Due piccoli appunti.
$E_x$ è la componente lungo $x$ di $\vec E$, è quindi uno scalare e non può uguagliare una quantità vettoriale.
Qui hai confuso $z$ con $x$.
Spero di esserti stato d'aiuto e scusa per l'eventuale poca chiarezza (in tal caso avvisami e cercherò di spiegarmi meglio)
Il tuo svolgimento è corretto, permettimi di dare un senso all'angolo $\alpha$ di cui ti sei servito: è l'angolo formato dall'asse $y$ ed il vettore posizione dell'elemento $dl$.
In maniera un po' più formale, il contributo al campo elettrico di ogni elemento dl è pari a
\[\displaystyle d\vec E = \frac{\lambda dl}{4\pi \epsilon}\frac{\hat r}{r^2}\]
da cui puoi ottenere le 3 componenti x,y e z proiettando sugli assi:
\[\displaystyle
dE_x = dE\cos\theta \\
dE_y=dE\sin\theta \cos\alpha \\
dE_z=dE\sin\theta \sin\alpha
\]
L'angolo $\alpha$, a differenza di $\theta$, dipende dall'elementino $dl$ di cui consideri il contributo, nello specifico è $dl = Rd\alpha$. A questo punto puoi procedere con l'integrazione ottenendo effettivamente $E_y=0$ e per $E_z$ l'espressione che hai ricavato.
Due piccoli appunti.
$ Ex=(lambda cosTheta hat(i) )/(4pi epsilon r^2)int_(l)^() dl= (lambda cosTheta hat(i) ) /(4pi epsilon r^2)pi Rhat(i) $
$E_x$ è la componente lungo $x$ di $\vec E$, è quindi uno scalare e non può uguagliare una quantità vettoriale.
Avrò infine
$ Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsilonr^2)piRhat(k)int_(0)^(pi) sinalpha dalpha $
svolgo l'integrale che da 2. Pongo
$ sinTheta=R/sqrt(R^2+z^2) $
e avrò
$ Ez=(lambdaR^2)/(2epsi(R^2+z^2)^(3/2))hatk $
Qui hai confuso $z$ con $x$.
Spero di esserti stato d'aiuto e scusa per l'eventuale poca chiarezza (in tal caso avvisami e cercherò di spiegarmi meglio)
Grazie per gli accorgimenti
Si, e che in un quaderno avevo l'asse z come asse dell'anello e in un altro l'asse x, da qui l'errore
Ma forse c' è un altro errore. Se $dl=Ralpha$
allora
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsir^2)Rint_(0)^(pi) sinalphadalpha$
è la giusta operazione e non
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsir^2)Rpiint_(0)^(pi) sinalphadalpha$
Ho moltiplicato per un $pi$ inutile. Oppure sto sbagliando qualcosa?
Grazie per le risposte
Qui hai confuso $z$ con $x$.
Si, e che in un quaderno avevo l'asse z come asse dell'anello e in un altro l'asse x, da qui l'errore
Ma forse c' è un altro errore. Se $dl=Ralpha$
allora
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsir^2)Rint_(0)^(pi) sinalphadalpha$
è la giusta operazione e non
$Ez=(lambdasinTheta)/(4piepsir^2)Rpiint_(0)^(pi) sinalphadalpha$
Ho moltiplicato per un $pi$ inutile. Oppure sto sbagliando qualcosa?
Grazie per le risposte
Sì, hai ragione, però non capisco perché tu abbia moltiplicato per quel $\pi$.
Considera un'arco di circonferenza di lunghezza $dl$ che sottende un angolo di ampiezza $d\alpha$; allora varrà la proporzione $dl:d\alpha=2\pi R:2\pi$ da cui appunto $dl=Rd\alpha$.
Considera un'arco di circonferenza di lunghezza $dl$ che sottende un angolo di ampiezza $d\alpha$; allora varrà la proporzione $dl:d\alpha=2\pi R:2\pi$ da cui appunto $dl=Rd\alpha$.
"DelCrossB":
Sì, hai ragione, però non capisco perché tu abbia moltiplicato per quel $\pi$.
Non so che dirti. Però mi sono accorto dell'errore e questo è l'importante. Il fatto è che vado molto a intuito e qualche erroricchio ci scappa. Anche perché semplicemente detto $l$ l'arco di circonferenza $l=Ralpha$
Grazie di tutto comunque, sei stato molto chiaro.
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