Campo elettrico nel centro di una semisfera

[dragonspirit1]

salve a tutti sto cercando di risolvere lo stesso esercizio descritto in questo post
viewtopic.php?f=19&t=41355&p=306266&hilit=campo+elettrico+semisfera+centro#p306266

solo che al posto di dividere la semisfera in tanti anelli avevo deciso di dividerla per fusi, il problema è che i risultati non coincidono. Penso che il problema sia di natura geometrica ma non lo comprendo.
Da un esercizio precendente (controllato il risultato sul mio libro di fisica e svolto anche in prima persona ) risulta che il campo elettrico di un semianello nel suo centro è pari a $ q/(2pi^2 epsilon r^2 $ con r raggio del semianello. (posto la foto dei calcoli )

ora se divido la sfera in tanti fusi io so che $ dq = sigma("=densita' di carica") *("area del" fuso)= sigma2r^2ddelta (delta "=angolo) $

per simmetria il campo elettrico risultante è pari a quello di ogni singolo semianello per il coseno di $ sigma$ ovvero $ Ecos(sigma) $

quindi bastava integrare esattamente nello stesso modo con cui ho eseguito i calcoli per il campo del semianello sostituendo a dq il valore soprascritto e prendendo il valore del campo elettrico da integrare con il valore dell'infinite3simo campo gernerato dal semifuso (posto la foto con i calcoli successivi)


foto 1

foto 2

il libro mi dice che il risultato deve essere $ pi/(4piepsilon) sigma$

e non coincide