Campo elettrico massimo

[AndreaTorre1]

Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano per la risoluzione di questo problema:
Un cilindro di lunghezza indefinita di raggio R è costituito di materiale isolante nel quale è distribuita una carica con densità volumetrica $rho$ che dipende dalla distanza $r$ dall'asse centrale del cilindro come $rho(r)=rho_0(1-r/R)$. Calcolare il campo elettrico in funzione di $r$. Per quale valore di $r$ il campo elettrico è massimo?

Ho provato a procedere così:
per $r $E*2pirL=q_(i nt)/epsilon_0=$ (#)
$q_(i nt)=int_0^r rho_0(1-r/R)pir^2Ldr=Lpirho_0int_0^r (1-r/R)r^2dr=Lpirho_0(int_0^r r^2dr-1/Rint_0^rr^3dr)=$
$=Lpirho_0(r^3/3-r^4/(4R))$
(#)$=(Lpirho_0)/epsilon_0 [(4Rr^2-3r^3)/(12R)]=>E(r)=rho_0/(24epsilon_0R) (4Rr^2-3r^3)$
Per $r>R$
$E*2pirL=Q_(i nt)/epsilon_0=$(##)
$Q_(i nt)=int_0^R rho_0(1-r/R)pir^2Ldr=Lpirho_0(int_0^Rr^2dr-1/Rint_0^Rr^3dr)=Lpirho_0*R^3/12$
(##)$=(Lpirho_0)/(12epsilon_0)*R^3=>E(r)=(R^3rho_0)/(24epsilon_0r)$
Per $r=R$
$E(r)=(R^2rho_0)/(24epsilon_0)$

Vorrei sapere se ho fatto errori fino a qui e inoltre, riguardo il secondo punto, so che per trovare il valore massimo bisogna porre la derivata del campo =0 ma non so bene se bisogna considerare quello per $rR$.

Grazie mille in anticipo!

[mgrau]

"AndreaTorre":so che per trovare il valore massimo bisogna porre la derivata del campo =0 ma non so bene se bisogna considerare quello per $rR$.

Senza entrare nel merito dei calcoli, ti pare realistico che il valore massimo si abbia all'ESTERNO del cilindro? Allontanandosi dall'asse il campo varia come 1/r, non ci sono nuove cariche che contribuiscano al campo...

[AndreaTorre1]

come pensavo...grazie per la risposta! Ma per quanto riguarda il precedente ci sono?

[mgrau]

Un po' troppi integrali per i miei gusti, ma i risultati sembrano sensati.
Il massimo mi pare sia a $8/9R$

[AndreaTorre1]

Ottimo, grazie ancora