Campo Elettrico Irrotazionale

[f.schiano1]

Ciao a tutti, il prof. di Modelli numerici per i Campi in aula ha detto la frase seguente, ma io non l'ho ben capita:

"Essendo il campo elettrico irrotazionale esso puo' essere espresso attraverso il gradiente di un campo scalare U=U(P) definito in [tex]\Omega[/tex] (che è una regione dello spazio) "

Mi spiegate perche' quando un campo è irrotazionale allora posso esprimerlo attraverso il gradiente di un campo scalare?

Grazie!

[yoshiharu]

"f.schiano":Ciao a tutti, il prof. di Modelli numerici per i Campi in aula ha detto la frase seguente, ma io non l'ho ben capita:

"Essendo il campo elettrico irrotazionale esso puo' essere espresso attraverso il gradiente di un campo scalare U=U(P) definito in [tex]\Omega[/tex] (che è una regione dello spazio) "

Mi spiegate perche' quando un campo è irrotazionale allora posso esprimerlo attraverso il gradiente di un campo scalare?

E' un teorema. Vale per esempio nell'usuale spazio tridimensionale. Puoi pensare in termini "costruttivisti", costruisci, diciamo in 3 dimensioni, l'integrale di linea del campo a partire da un punto base scelto arbitrariamente:

[tex]\phi_\gamma \doteq \int_\gamma \ d\underline s(p) \cdot \underline v(p)[/tex]

laddove ho indicato con [tex]d\underline s(p)[/tex] un "elemento infinitesimo" tangente alla curva [tex]\gamma[/tex].
Questa funzione, se nello spazio nel quale lavori puoi ricondurre con "movimenti senza strappi" un qualunque cammino semplice di integrazione in un qualunque altro cammino avente gli stessi estremi, dipende solo dagli estremi del cammino [tex]\gamma[/tex] se e solo se il campo $\underline v$ ha rotore nullo. Questo perche' per il teorema di Stokes la differenza tra la funzione $\phi$ calcolata lungo due cammini diversi (ma che abbiano gli stessi estremi) si scrive

[tex]\phi_{\gamma'} - \phi_\gamma = \oint_{\gamma'-\gamma} \ d\underline s \cdot \underline v = \int_\Sigma \ d\underline\sigma \cdot \nabla\times\underline v[/tex]
laddove $\Sigma$ e' una qualsiasi superficie il cui bordo sia $\gamma'-\gamma$ (cioe' i due cammini percorsi in senso inverso l'uno all'altro). Vedi allora che se il rotore si annulla ovunque la funzione $\phi$ dipende solo dagli estremi del cammino che rientra nella sua definizione. Ovviamente se lo spazio non e' semplicemente connesso vedi bene che c'e' un problema. Normalmente non e' questo il caso, comunque.

Per quanto riguarda la dimensionalita' del problema, ho fissato 3 dimensioni per semplicita', visto che e' solo in 3d che il rotore di un campo vettoriale e' ancora un vettore; ma si possono fare discorsi analoghi, mutatis mutandis (in quel caso in genere usi il formalismo delle forme differenziali, nel caso ti interessa la generalizzazione).

[nemi.klein]

a me non è chiaro se il campo elettrico è sempre irrotazionale, a prescindere che sia creato da cariche ferme (quindi è un campo elettrostatico) oppure da variazione del campo magnetico.

io so che parlando di campo elettrostatico esiste il potenziale scalare V tc -grad(V) = E
ciò implica che int_a^b E * dr = V_B - V_A
da cui è chiaro che la circuitazione di E = 0
applicando il teorema del rotore poi si può dimostrare che equivale a dire che il ROTORE di E = 0
che è una definizione per affermare che il campo è irrotazionale

ma nel caso di elettromagnetismo in cui la sorgente del campo E è la variazione nel tempo di un campo B
posso affermare grazie a Maxwell:
la circuitazione di E = - d/dt (int int_s B*da)
in questo caso è ancora vero che il ROTORE di E è ancora identicamente nullo e che quindi è irrotazionale?

[yoshiharu]

"nemi.klein":a me non è chiaro se il campo elettrico è sempre irrotazionale, a prescindere che sia creato da cariche ferme (quindi è un campo elettrostatico) oppure da variazione del campo magnetico.

Se il campo magnetico varia avrai almeno un punto nello spazio in cui il rotore del campo elettrico non si annulla. Nelle regioni dove ciò accade non puoi definire un potenziale ad un valore. Fin qui dovrebbe essere chiaro, ma vorrei rispondere alla tua domanda successiva perché contiene un punto che spesso non viene messo in evidenza.

ma nel caso di elettromagnetismo in cui la sorgente del campo E è la variazione nel tempo di un campo B
posso affermare grazie a Maxwell:
la circuitazione di
[tex]\mathbf{E} = - \frac{d}{dt} (\int \int_S \mathbf{B} d\mathbf{a})[/tex]
in questo caso è ancora vero che il ROTORE di E è ancora identicamente nullo e che quindi è irrotazionale?

Molto spesso si scrive questa equazione di Maxwell in forma integrale, ma senza specificare che in quella forma vale solo per un contorno fisso. Comunque sia per rispondere alla tua domanda: se il campo magnetico varia il rotore del campo elettrico non è nullo, e quindi il campo elettrico non ha un potenziale. Infatti il campo elettrico si guadagna il termine aggiuntivo relativo dipendente dal potenziale vettore

[tex]\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}[/tex]

[nemi.klein]

riepilogando, per essere sicura di aver capito bene.
in ELETTROSTATICA:
-il campo elettrico è IRROTAZIONALE
-il campo elettrico si può descrivere come: E = - grad(V)
dove V l'energia potenziale elettrostatica $V_A$ - $V_B$ = $int_A ^B$ E dr
-il campo elettrico è un campo conservativo perchè le forze che esercita sono conservative (=il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale e non dal percorso), da cui si evince che la circuitazione di E è nulla.

parlando di ELETTROMAGNETISMO
- il campo elttrico non è IRROTAZIONALE
- non può essere descritto da una funzione scalare?
- le forze non sono conservative?

[donald_zeka]

Ah che bello insegnare la fisica senza la matematica necessaria a comprenderla...