Campo elettrico in funzione della distanza

[GiuliaCinicola]

Ho questo problema e non riesco a capire se il mio ragionamento è giusto:
Un sistema di cariche è costituito da una distribuzione sferica di raggio \( R1 = 3 cm \) e densità di carica \( \rho = Ar \) dove \( A = 0.0393 C/m^4 \) e r la distanza dal centro, e da un guscio sferico concentrico di raggio \( R2 = 5 cm \) e densità di carica \( \sigma = 19\mu C/m^2 \). Calcolare:
1. la carica totale del sistema
2. il E generato nelle varie regioni di spazio

La carica totale sarà \( Q = \int_{0}^{R1} Ar4\pi r^2\, dx = A\pi R1^4 \) o devo considerare anche la carica superficiale \( \sigma \)?

Grazie mille per l'aiuto

[mgrau]

"giuggiole":
La carica totale sarà \( Q = \int_{0}^{R1} Ar4\pi r^2\, dx = A\pi R1^4 \) o devo considerare anche la carica superficiale \( \sigma \)?

Grazie mille per l'aiuto

E certo. Perchè non dovresti considerare la carica sul guscio $4piR_2^2 sigma$ ? Che poi questa non abbia effetto fra $R_1$ e $R_2$ è un altro discorso.

[GiuliaCinicola]

Va bene, quindi la carica totale è \( Q = A\pi R1^4+\sigma 4\pi R2^2 \).
Per il campo elettrico invece avrò \( E( R1 < r < R2)=0 \) mentre \( E(r R2) = Q/(4\pi \varepsilon or^2) \) giusto?

[mgrau]

"giuggiole":
Per il campo elettrico invece avrò \( E( R1 < r < R2)=0 \) mentre \( E(r R2) = Q/(4\pi \varepsilon or^2) \) giusto?

Ma proprio no. C'è simmetria sferica, il terreno ideale per il teorema di Gauss: in ogni punto a distanza $r$, il flusso attraverso la sfera di raggio $r$ è $Phi = (Q(r)) / epsi_0$ e quindi il campo è $E(r) = Phi/(4pir^2) = (Q(r))/(4piepsi_0r^2)$; allora, per $r < R_1$ il campo è proporzionale a $r$ (perchè $Q(r) = 4/3pir^3sigma$), per $R_1 < r < R_2$ è come quello di una carica puntiforme $Q_1$ e per $r > R_2$ come per una carica puntiforme $Q_1 + Q_2$, dove $Q_1$ e $Q_2$ sono la carica sulla sfera interna e la carica sul guscio.

[GiuliaCinicola]

Scusami ma perchè il campo per \( r < R1 \) dipende da \( \sigma \) e non da \( \rho \) ?

[mgrau]

Una svista. Certo, dipende da $rho$

[GiuliaCinicola]

Perfetto, grazie mille per l'aiuto