Campo elettrico generato da un quadrupolo
Posto un esercizio di Fisica 2. Non riesco proprio a venirne a capo
"Un quadrupolo elettrico è costituito da due dipoli collineari con versi opposti e molto vicini tra loro. (a) Calcolare il campo del quadrupolo mostrato in figura nei punti alla destra di $ x=a $. (b) Mostrare che per \( x\gg a \) il campo del quadrupolo decresce come \( 1/x^4 \) all'aumentare di \( x \)"
Allora, lasciando perdere per ora la consegna (b) tanto credo siano collegate, io ho proceduto in questa maniera:
(a) \( E_{-2q}={-2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \) (dove \( z \) è la distanza tra la carica \( -2q \) e un punto ipotetico a destra di \( x=a \)); \( E_{q+q}={q\over4\pi\varepsilon_0(z-a)^2}+{q\over4\pi\varepsilon_0(z+a)^2}={q\over4\pi\varepsilon_0}[{1\over(z-a)^2}+{1\over(z+a)^2}]={q\over4\pi\varepsilon_0z^2}[(1-{a\over z})^{-2}+(1+{a\over z})^{-2}] \). Da quì iniziano i problemi per me perché alle due quantità poste tra parentesi dovrei sostituire il loro sviluppo binomiale arrestato ai primi termini ottenendo \( [(1+{2a\over z}+...)+(1-{2a\over z}+...)] \). I termini mancanti nei due sviluppi sono costituiti da potenze successive di \( 2a\over z \). Ora se stessimo calcolando \( E \) a grandi distanze (cioé con \( z\gg2a \)) avremmo \( {2a\over z}\ll1 \) e i contributi dei termini successivi sarebbero trascurabili. Non siamo però in questa situazione, in base a quanto scritto all'inizio nel testo per la consegna (a). Non sapendo però come proseguire ignoro quest'ultimo fatto e provo a continuare il calcolo come se fossi nel computo di un campo elettrico a grandi distanze:
\( E_{q+q}={q\over4\pi\varepsilon_0z^2}[(1+{2a\over z})+(1-{2a\over z})]={2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \)
\( E_{-2q}={-2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \)
\( E=E_{q+q}+E_{-2q}={2q\over4\pi\varepsilon_0z^2}-{2q\over4\pi\varepsilon_0z^2}=0 \) il che non credo sia corretto perché se così fosse non saprei come risolvere la consegna (b)
Dove sbaglio?? Se qualcuno potesse darmi una mano gliene sarei grato
"Un quadrupolo elettrico è costituito da due dipoli collineari con versi opposti e molto vicini tra loro. (a) Calcolare il campo del quadrupolo mostrato in figura nei punti alla destra di $ x=a $. (b) Mostrare che per \( x\gg a \) il campo del quadrupolo decresce come \( 1/x^4 \) all'aumentare di \( x \)"
Allora, lasciando perdere per ora la consegna (b) tanto credo siano collegate, io ho proceduto in questa maniera:
(a) \( E_{-2q}={-2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \) (dove \( z \) è la distanza tra la carica \( -2q \) e un punto ipotetico a destra di \( x=a \)); \( E_{q+q}={q\over4\pi\varepsilon_0(z-a)^2}+{q\over4\pi\varepsilon_0(z+a)^2}={q\over4\pi\varepsilon_0}[{1\over(z-a)^2}+{1\over(z+a)^2}]={q\over4\pi\varepsilon_0z^2}[(1-{a\over z})^{-2}+(1+{a\over z})^{-2}] \). Da quì iniziano i problemi per me perché alle due quantità poste tra parentesi dovrei sostituire il loro sviluppo binomiale arrestato ai primi termini ottenendo \( [(1+{2a\over z}+...)+(1-{2a\over z}+...)] \). I termini mancanti nei due sviluppi sono costituiti da potenze successive di \( 2a\over z \). Ora se stessimo calcolando \( E \) a grandi distanze (cioé con \( z\gg2a \)) avremmo \( {2a\over z}\ll1 \) e i contributi dei termini successivi sarebbero trascurabili. Non siamo però in questa situazione, in base a quanto scritto all'inizio nel testo per la consegna (a). Non sapendo però come proseguire ignoro quest'ultimo fatto e provo a continuare il calcolo come se fossi nel computo di un campo elettrico a grandi distanze:
\( E_{q+q}={q\over4\pi\varepsilon_0z^2}[(1+{2a\over z})+(1-{2a\over z})]={2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \)
\( E_{-2q}={-2q\over4\pi\varepsilon_0z^2} \)
\( E=E_{q+q}+E_{-2q}={2q\over4\pi\varepsilon_0z^2}-{2q\over4\pi\varepsilon_0z^2}=0 \) il che non credo sia corretto perché se così fosse non saprei come risolvere la consegna (b)
Dove sbaglio?? Se qualcuno potesse darmi una mano gliene sarei grato
Risposte
ti sei incartato nei calcoli
andiamo al sodo
$-frac{2}{x^2}+frac{1}{(x-a)^2}+frac{1}{(x+a)^2}=frac{6a^2x^2-2a^4}{x^2(x^2-a^2)^2}$
che per x>>a si può approssimare con
$frac{6a^2x^2}{x^6}=frac{6a^2}{x^4}$
andiamo al sodo
$-frac{2}{x^2}+frac{1}{(x-a)^2}+frac{1}{(x+a)^2}=frac{6a^2x^2-2a^4}{x^2(x^2-a^2)^2}$
che per x>>a si può approssimare con
$frac{6a^2x^2}{x^6}=frac{6a^2}{x^4}$
Perfetto. Molto gentile. Grazie mille
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