Campo Elettrico generato da particolari porzioni sferiche
Ciao ragazzi, volevo chiedervi una mano sul calcolo del campo elettrico per particolari distribuzioni volumetriche di carica.
In particolare ci sono 2 esercizi che proprio non mi tornano, abbastanza simili tra loro, su porzioni sferiche: nel primo si tratta di una sfera a cui praticamente viene sottratto un cono, mentre nel secondo uno spicchio sferico (1/4 di sfera)
Ve li posto cosicchè possiamo discuterne insieme:
1) In un sistema di coordinate polari sferiche, si consideri il volume identificato dalla relazione $r ≤ r_0$, $θ ≤θ_0$, con $r_0 = 0.0127m$ e $θ_0 = 1.72 rad$.
All’interno di questo volume è presente una densità volumetrica di carica elettrica $ρ(r, θ, φ) = ρ_0rcos(θ)$, con $ρ_0 = 2.75 (nC)/m^4$.
Determinare l’intensità del campo elettrico, in $V/m$, nell’origine del sistema di riferimento.
edit: SOLUZIONE
2) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni $r ≤ 1.89 m, 0 ≤ θ ≤ π,$
e $0 ≤ φ ≤ π/2$ è data una distribuzione volumetrica con densità uniforme $ρ_0 = 1.41 (nC)/m^3$.
Calcolare il modulo del campo elettrico, in $N/C$, nell’origine del sistema di riferimento.
edit: SOLUZIONE
Per quanto riguarda la mia idea, in entrambi i casi per le particolari simmetrie del problema, il campo elettrico totale è soltanto lungo una direzione.
Ho provato a integrare in coordinate sferiche:
$E_o = 1/(4πε_0)\int_V (ρdV)/r^2 = 1/(4πε_0)\int_V ρ/r^2 r^2sin(θ)drdθdφ$ variando opportunamente i limiti di integrazione, ma il risultato non mi torna.
In particolare ci sono 2 esercizi che proprio non mi tornano, abbastanza simili tra loro, su porzioni sferiche: nel primo si tratta di una sfera a cui praticamente viene sottratto un cono, mentre nel secondo uno spicchio sferico (1/4 di sfera)
Ve li posto cosicchè possiamo discuterne insieme:
1) In un sistema di coordinate polari sferiche, si consideri il volume identificato dalla relazione $r ≤ r_0$, $θ ≤θ_0$, con $r_0 = 0.0127m$ e $θ_0 = 1.72 rad$.
All’interno di questo volume è presente una densità volumetrica di carica elettrica $ρ(r, θ, φ) = ρ_0rcos(θ)$, con $ρ_0 = 2.75 (nC)/m^4$.
Determinare l’intensità del campo elettrico, in $V/m$, nell’origine del sistema di riferimento.
edit: SOLUZIONE
2) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni $r ≤ 1.89 m, 0 ≤ θ ≤ π,$
e $0 ≤ φ ≤ π/2$ è data una distribuzione volumetrica con densità uniforme $ρ_0 = 1.41 (nC)/m^3$.
Calcolare il modulo del campo elettrico, in $N/C$, nell’origine del sistema di riferimento.
edit: SOLUZIONE
Per quanto riguarda la mia idea, in entrambi i casi per le particolari simmetrie del problema, il campo elettrico totale è soltanto lungo una direzione.
Ho provato a integrare in coordinate sferiche:
$E_o = 1/(4πε_0)\int_V (ρdV)/r^2 = 1/(4πε_0)\int_V ρ/r^2 r^2sin(θ)drdθdφ$ variando opportunamente i limiti di integrazione, ma il risultato non mi torna.
Risposte
Ciao, provo ad indirizzarti:
per il punto uno non intende in realtà proprio il "cono" (tra virgolette perchè la base sarebbe sferica) ? Cioé, il sistema di coordinate sferiche in genere definisce l'angolo teta come quello compreso tra raggio-vettore e asse z per cui dire che la regione considerata possiede $\theta < \theta_0$ vorrebbe dire di considerare il cono appunto, corretto?
per il punto 2, a parte una piccola svista (dire che "il campo elettrico totale è soltanto lungo una direzione" in un punto specifico è una tautologia, un vettore non può puntare in due direzioni diverse in contemporanea
), c'è un problema di fondo nell'integrale. Dici correttamente che, per le simmetrie del problema, tu conosci in che direzione punta il campo elettrico nell'origine. Di conseguenza, giustamente, semplifichi il problema calcolando un singolo integrale per calcolare il campo elettrico nell'origine lungo la direzione che hai trovato.
Però ti dimentichi di proiettare lungo tale direzione il contributo al campo elettrico misurato nell'origine dovuto al volumetto di carica in posizione (x,y,z).
Magari lo stesso errore lo fai anche nel primo esercizio, dato che i due sono molto simili.
per il punto uno non intende in realtà proprio il "cono" (tra virgolette perchè la base sarebbe sferica) ? Cioé, il sistema di coordinate sferiche in genere definisce l'angolo teta come quello compreso tra raggio-vettore e asse z per cui dire che la regione considerata possiede $\theta < \theta_0$ vorrebbe dire di considerare il cono appunto, corretto?
per il punto 2, a parte una piccola svista (dire che "il campo elettrico totale è soltanto lungo una direzione" in un punto specifico è una tautologia, un vettore non può puntare in due direzioni diverse in contemporanea
), c'è un problema di fondo nell'integrale. Dici correttamente che, per le simmetrie del problema, tu conosci in che direzione punta il campo elettrico nell'origine. Di conseguenza, giustamente, semplifichi il problema calcolando un singolo integrale per calcolare il campo elettrico nell'origine lungo la direzione che hai trovato.Però ti dimentichi di proiettare lungo tale direzione il contributo al campo elettrico misurato nell'origine dovuto al volumetto di carica in posizione (x,y,z).
Magari lo stesso errore lo fai anche nel primo esercizio, dato che i due sono molto simili.
"Lampo1089":
Ciao, provo ad indirizzarti:
per il punto uno non intende in realtà proprio il "cono" (tra virgolette perchè la base sarebbe sferica) ? Cioé, il sistema di coordinate sferiche in genere definisce l'angolo teta come quello compreso tra raggio-vettore e asse z per cui dire che la regione considerata possiede $\theta < \theta_0$ vorrebbe dire di considerare il cono appunto, corretto?
per il punto 2, a parte una piccola svista (dire che "il campo elettrico totale è soltanto lungo una direzione" in un punto specifico è una tautologia, un vettore non può puntare in due direzioni diverse in contemporanea
Però ti dimentichi di proiettare lungo tale direzione il contributo al campo elettrico misurato nell'origine dovuto al volumetto di carica in posizione (x,y,z).
Magari lo stesso errore lo fai anche nel primo esercizio, dato che i due sono molto simili.
ciao, intanto grazie per la risposta, allora:
Per quanto riguarda il primo problema l'angolo polare è maggiore di $π/2$, quindi non so come poter chiamare il solido che si ottiene, ma non mi sembra un "cono" a base sferica (magari sbaglio eh).
Ad ogni modo questo primo quesito l'ho risolto, come hai scritto tu ho dimenticato di proiettare.
In questo caso infatti il campo elettrico risultante è lungo l'asse $z$, quindi proiettando lungo quest'asse, ovvero moltiplicando per $cosθ$ mi torna il risultato.
Per quanto riguarda il secondo invece, per le simmetrie della distribuzione di carica mi sembra corretto pensare che il campo totale nell'origine sia lungo la retta $y=-x$ nel piano equatoriale $z=0$ (spero di essermi spiegato bene), quindi sono portato a pensare che basterebbe proiettare per $sinθ$, ma non mi torna, che altro mi sfugge?
"incomplete1993":
Per quanto riguarda il primo problema l'angolo polare è maggiore di $π/2$, quindi non so come poter chiamare il solido che si ottiene, ma non mi sembra un "cono" a base sferica (magari sbaglio eh)
ahah sono un pollo, non mi sono nemmeno posto il problema di confrontare il numero con Pi/2. certo, hai ragione
Per quanto riguarda il secondo invece, per le simmetrie della distribuzione di carica mi sembra corretto pensare che il campo totale nell'origine sia lungo la retta y=−x nel piano equatoriale
perfetto
quindi sono portato a pensare che basterebbe proiettare per sinθ
non è corretto, hai provato a verificare cosa accade nel piano equatoriale? avresti proiezione costante indipendentemente dall'angolo azimutale, cosa non vera.
puoi svolgere esplicitamente il prodotto scalare tra raggio vettore e versore lungo la direzione appena trovata esprimendolo in coordinate sferiche. a quel punto dovresti risolvere agevolmente.
ps una volta risolto posta i risultati (non tanto per verifiche, ma piuttosto perché sono esercizi carini che potrebbero essere utili "ai visitatori"
)Edit: ma non dovrebbe essere diretto lungo la retta y = x (con verso che punta verso il quadrante avente x<0 e y<0)?
"Lampo1089":
Edit: ma non dovrebbe essere diretto lungo la retta y = x (con verso che punta verso il quadrante avente x<0 e y<0)?
sisi, avevo fatto confusione
"Lampo1089":
ps una volta risolto posta i risultati (non tanto per verifiche, ma piuttosto perché sono esercizi carini che potrebbero essere utili "ai visitatori"
risolti entrambi, scrivo qui il risultato poi modifico anche il post iniziale con gli spoiler per il risultato:
es.1) si tratta di un campo elettrico diretto lungo l'asse z, quindi l'integrale $E_o = 1/(4πε_0)\int_V (ρdV)/r^2$ passando in coordinate sferiche va moltiplicato per la sua proiezione lungo tale asse, ovvero $cos(θ)$, si ottiene quindi:
$E_o = 1/(4πε_0)\int ρ/r^2 r^2cos(θ)sin(θ)drdθdφ = ρ_0/(4πε_0)\int_0^(r_0)rdr\int_0^(θ_0)cos^2(θ)sin(θ)dθint_0^(2π)dφ$
es.2) in questo caso per le simmetrie della distribuzione di carica il campo risultante nell'origine è diretto lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante (con verso "negativo"), bisogna quindi proiettare l'integrale generale innanzitutto sul piano xy (ovvero moltiplicarlo per $sin(θ)$), dopodichè proiettarlo nuovamente sulla retta bisettrice lungo la quale è direzionato il campo (ovvero per $cos(π/4-φ)$).
Si ottiene quindi:
$E_o = 1/(4πε_0)\int ρ_0/r^2 r^2sin(θ)sin(θ)cos(π/4-φ)drdθdφ = ρ_0/(4πε_0)\intdr\int_0^(π/2)cos(π/4-φ)dφ\int_0^πsin^2(θ)dθ$
spero che la spiegazione sia adeguata e di non aver scritto cavolate, confido nella conferma del buon lampo
p.s. avrei anche qualche altro esercizio sempre di elettrostatica che non mi torna (sono abbastanza interessanti anche questi), magari qualche utente più navigato puo consigliarmi se conviene aprire un nuovo post o continuare su questo magari editando il titolo.
bisogna quindi proiettare l'integrale generale innanzitutto sul piano xy (ovvero moltiplicarlo per sin(θ)), dopodichè proiettarlo nuovamente sulla retta bisettrice lungo la quale è direzionato il campo (ovvero per cos(π4−θ))
Non capisco bene quello che intendi: se dovessi rispondere alla domanda "qual è la proiezione di del raggio vettore $\vec{r}$ lungo $\hat{n}$ (direzione e verso che hai detto)", quale sarebbe la tua risposta? Prova a seguire il consiglio che ti dicevo (esegui esplicitamente il prodotto scalare e poi passa in coord. sferiche)
In sostanza mi pare che ci sia ancora un problema nel modo in cui proietti ... strano che tu ottenga il risultato corretto, sicuro che tutti i fattorelli numerici siano quelli attesi?
"Lampo1089":bisogna quindi proiettare l'integrale generale innanzitutto sul piano xy (ovvero moltiplicarlo per sin(θ)), dopodichè proiettarlo nuovamente sulla retta bisettrice lungo la quale è direzionato il campo (ovvero per cos(π4−θ))
Non capisco bene quello che intendi: se dovessi rispondere alla domanda "qual è la proiezione di del raggio vettore $\vec{r}$ lungo $\hat{n}$ (direzione e verso che hai detto)", quale sarebbe la tua risposta? Prova a seguire il consiglio che ti dicevo (esegui esplicitamente il prodotto scalare e poi passa in coord. sferiche)
In sostanza mi pare che ci sia ancora un problema nel modo in cui proietti ... strano che tu ottenga il risultato corretto, sicuro che tutti i fattorelli numerici siano quelli attesi?
Posto l'immagine che ho disegnato con cui mi sono aiutato (sperando sia abbastanza leggibile e interpretabile):
Praticamente, dato che mi serve la $x$, proiezione del vettore $r$ lungo $n$ altro non è che $h*cos(α)$.
A loro volta $h=r*sin(θ)$ e $α=ϕ-π/4 ⇒ x=r*sin(θ)*cos(ϕ-π/4)$
Ora come ora (devo esercitarmi ancora un bel po' proprio per questo infatti) mi torna più comodo ragionare "graficamente" sulle varie proiezioni che andando a fare esplicitamente i calcoli
Corretto, allora direi che si trattava solo di un typo nelle formule nella soluzione che hai riportato (facci caso: dove compare l'angolo $\phi$ nell'integranda? )
"Lampo1089":
Corretto, allora direi che si trattava solo di un typo nelle formule nella soluzione che hai riportato (facci caso: dove compare l'angolo $\phi$ nell'integranda? )
verissimo, non ci avevo fatto caso, per scrivere a modino le formule ho fatto confusione nel trascrivere gli angoli, adesso correggo
ti ringrazio nuovamente per l'aiuto e le dritte, magari a breve mi rileggerai per qualche altro esercizio sempre sull'elettrostatica e anche magnetismo per non farci mancare nulla, i posteri apprezzeranno
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo