Campo elettrico generato da $6$ cariche
Nel mio caso ho 6 cariche puntiformi posizionate equidistanziate su una circonferenza $\gamma$ di raggio $r$ (3 protoni seguiti da 3 elettroni). Devo calcolare il campo elettrico nel centro di $\gamma$.
Per prima cosa considero un sistema di riferimento $Oxy$ dove $O$ coincide con il centro di $\gamma$. Siano $q_1 , ... , q_6$ le cariche in gioco (indiciate in senso orario).
$ \bb{E}_i(\bb{0}) = \frac{q_i}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \bb{r}_i $ dove $\bb{r}_i \text{ e' la posizione di } q_i $
Allora $ \bb{E} (\bb{0}) = \sum_{i=1}^6 \bb{E}_i(\bb{0}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^2} ( \bb{r}_1 q_1 + ... + \bb{r}_6 q_6 )$
$= \frac{2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} ( \bb{r}_1+ \bb{r}_2 + \bb{r}_3 ) = \frac{2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} 2 \bb{r}_2 = \frac{1}{ \pi \epsilon_0 r^2} \bb{r}_2$
dove $\bb{r}_2$ è la posizione della carica $q_2$ (l'elettrone intermedio).
Quante stupidaggini ho scritto? Qualcosa mi dice tante, visto che il problema mi sembra bellamente simmetrico e, ragionevolmente, il campo nel centro mi aspetterei fosse nullo.
Per prima cosa considero un sistema di riferimento $Oxy$ dove $O$ coincide con il centro di $\gamma$. Siano $q_1 , ... , q_6$ le cariche in gioco (indiciate in senso orario).
$ \bb{E}_i(\bb{0}) = \frac{q_i}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \bb{r}_i $ dove $\bb{r}_i \text{ e' la posizione di } q_i $
Allora $ \bb{E} (\bb{0}) = \sum_{i=1}^6 \bb{E}_i(\bb{0}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^2} ( \bb{r}_1 q_1 + ... + \bb{r}_6 q_6 )$
$= \frac{2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} ( \bb{r}_1+ \bb{r}_2 + \bb{r}_3 ) = \frac{2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} 2 \bb{r}_2 = \frac{1}{ \pi \epsilon_0 r^2} \bb{r}_2$
dove $\bb{r}_2$ è la posizione della carica $q_2$ (l'elettrone intermedio).
Quante stupidaggini ho scritto? Qualcosa mi dice tante, visto che il problema mi sembra bellamente simmetrico e, ragionevolmente, il campo nel centro mi aspetterei fosse nullo.
Risposte
Puoi descrivere meglio la geometria del problema? In particolare, il significato di quel seguiti...
Nella formula per il campo i-esimo, devi aggiungere un segno meno e mettere r al cubo (non al quadrato!) al denominatore e quindi le stesse correzioni le devi fare nella formula finale. Nella formula finale ti sei perso anche la carica \(\displaystyle q_{2} \) delle particelle nelle posizioni 1, 2 e 3 al numeratore. Per il resto va bene.
Sì è simmetrico, ma non ha una simmetria radiale (come stai pensando tu...) ma ha un asse di simmetria di riflessione che passa per le cariche 2 e 5. Quindi il campo non è nullo.
"Seneca":
visto che il problema mi sembra bellamente simmetrico
Sì è simmetrico, ma non ha una simmetria radiale (come stai pensando tu...) ma ha un asse di simmetria di riflessione che passa per le cariche 2 e 5. Quindi il campo non è nullo.
Il problema è scritto proprio così. Io l'ho interpretato così: percorrendo la circonferenza in verso orario (indiciando le cariche) incontro prima i tre elettroni e poi i tre protoni.
"mathbells":
Nella formula per il campo i-esimo, devi aggiungere un segno meno e mettere r al cubo (non al quadrato!) al denominatore e quindi le stesse correzioni le devi fare nella formula finale. Nella formula finale ti sei perso anche la carica \(\displaystyle q_{2} \) delle particelle nelle posizioni 1, 2 e 3 al numeratore. Per il resto va bene.
Qui $\bb{r}_i$ l'ho considerato come un vettore che indica la posizione di $q_i$ e non come un versore. Sei sicuro ci vada il cubo al denominatore?
La formula finale verrebbe:
"Seneca":
$[...] = - \frac{e}{ \pi \epsilon_0 r^2} \bb{r}_2$
?
Ringrazio.
"Seneca":
Il problema è scritto proprio così. Io l'ho interpretato così: percorrendo la circonferenza in verso orario (indiciando le cariche) incontro prima i tre elettroni e poi i tre protoni.
Allora puoi fare una rappresentazione grafica e ti accorgi facilmente che il campo elettrico non è nullo nell'origine; in più, ti accordi altrettanto facilmente che la direzione da te trovata è corretta.
Devi aggiustarne il modulo. Se $r_i$ per te è il vettore posizione, allora il versore è $r_i/|r_i|$, in cui quel modulo a denominatore ti figlia il cubo nell'espressione del campo. Per il resto, il messaggio di mathbells direi che contiene tutto!
"Seneca":
Qui ri l'ho considerato come un vettore che indica la posizione di qi e non come un versore
Proprio per questo ci va r al cubo
!. Una r ti serve per trasformare \(\displaystyle \vec r_{i} \) in un versore. Se ci avessi messo il versore allora ci andava r al quadrato. Ricorda che l'obiettivo è di avere la distanza al quadrato al denominatore 
"Seneca":
La formula finale verrebbe...
In realtà ci devi mettere proprio \(\displaystyle q_{2} \) in modo che il risultato è generale. Se in 2 c'è un protone allora sarà e , se c'è un elettrone allora sarà -e. Il verso del campo al centro del cerchio dipende dal fatto che in 1, 2 e 3 ci siano le 3 cariche positive o quelle negative.
Okay, giustamente...
Vi ringrazio entrambi!
Vi ringrazio entrambi!
"mathbells":
[quote="Seneca"]Qui ri l'ho considerato come un vettore che indica la posizione di qi e non come un versore
Proprio per questo ci va r al cubo
!. Una r ti serve per trasformare \(\displaystyle \vec r_{i} \) in un versore. Se ci avessi messo il versore allora ci andava r al quadrato. Ricorda che l'obiettivo è di avere la distanza al quadrato al denominatore "Seneca":
La formula finale verrebbe...
In realtà ci devi mettere proprio \(\displaystyle q_{2} \) in modo che il risultato è generale. Se in 2 c'è un protone allora sarà e , se c'è un elettrone allora sarà -e. Il verso del campo al centro del cerchio dipende dal fatto che in 1, 2 e 3 ci siano le 3 cariche positive o quelle negative.[/quote]
Ma se dà le numerazioni in modo tale che in $2$ ci sia l'elettrone centrale, allora il segno deve darglielo.
"giuliofis":
Ma se dà le numerazioni in modo tale che in 2 ci sia l'elettrone centrale, allora il segno deve darglielo.
Se scrivi \(\displaystyle q_{2} \), ed in 2 c'è un elettrone, allora sarà \(\displaystyle q_{2}=-e \). Come vedi il segno giusto ci va da solo. La formula che abbiamo ottenuto vale sempre, senza specificare se 1,2,3 sono positive (o negative) e 4,5 e 6 sono negative (o positive). L'unica ipotesi fatta per ricavare la formula è che \(\displaystyle q_{1}=-q_{4}, q_{2}=-q_{5}, q_{3}=-q_{6} \)
Se io volessi calcolare ora il potenziale elettrico nel centro di $\gamma$...?
"Seneca":
Se io volessi calcolare ora il potenziale elettrico nel centro di $\gamma$...?
È abbastanza tardi, quindi prendi con le molle...
Poiché $E=E(r)$, puoi sfruttare il fatto che $-E=\nabla V$ che ti figlia un integrale in una dimensione.
Sennò puoi rifare il calcolo come sovrapposizione di potenziali.
Sennò, puoi osservare (ma non so se, data l'ora tarda, lo vedo io e basta
) che il tuo campo elettrostatico è quattro volte il campo di una carica puntiforme $q_2$, e da qui credo si possa dire che hai quattro volte il potenziale della stessa carica.
Il problema è che non ho il campo $E$. Devo mettermi a fare tutti i conti?
Non c'è qualche magia che mi mozzi la strada?
Non c'è qualche magia che mi mozzi la strada?
"Seneca":
Il problema è che non ho il campo $E$. Devo mettermi a fare tutti i conti?
Non c'è qualche magia che mi mozzi la strada?
Ma non l'avevi trovato prima il campo???
Solo nel centro, prima.
Provo a dire questo, ma non so se è corretto.
"giuliofis":
Sennò, puoi osservare (ma non so se, data l'ora tarda, lo vedo io e basta
Forse dico una banalità, ma visto che le cariche sono a due a due opposte e le distanze sono uguali il potenziale (calcolato come somma di sei potenziali coulombiani con costante arbitraria nulla) dovrebbe essere zero, se ho capito bene la geometria del problema.
"Palliit":
Forse dico una banalità
no no...secondo me dici proprio bene
Vi ringrazio.
"mathbells":
[quote="Palliit"]Forse dico una banalità
no no...secondo me dici proprio bene
[/quote]A pensarci, sì, anche secondo me dice proprio bene.
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