Campo elettrico di distribuzione di carica lineare
Due sbarrette di lunghezza $L$ hanno ciascuno una carica $Q$ distribuita uniformemente sulla loro lunghezza. Si trovano entrambe sull'asse $x$ e la distanza dei loro centri è $d$. La forza che si esercita tra le due bacchette?
Avevo pensato di procedere in questo modo: calcolarmi il campo elettrico che ogni sbarretta produce sull'asse $x$ e sommarli..Così,avendo trovato il campo elettrico tra le due sbarrette, posso calcolare la forza attraverso contributi infinitesimi ($ dF=dq*E $)
Il problema è che non riesco a calcolarmi i campi elettrici! So che devo sicuramente calcolarmi ogni campo elettrico attraverso i contributi infinitesimi $dE$ ma non saprei poi tra quali estremi devo far spaziare l'integrale $E=int_^dE $..Qualcuno può aiutarmi a ragionare?
Avevo pensato di procedere in questo modo: calcolarmi il campo elettrico che ogni sbarretta produce sull'asse $x$ e sommarli..Così,avendo trovato il campo elettrico tra le due sbarrette, posso calcolare la forza attraverso contributi infinitesimi ($ dF=dq*E $)
Il problema è che non riesco a calcolarmi i campi elettrici! So che devo sicuramente calcolarmi ogni campo elettrico attraverso i contributi infinitesimi $dE$ ma non saprei poi tra quali estremi devo far spaziare l'integrale $E=int_^dE $..Qualcuno può aiutarmi a ragionare?
Risposte
Prova a svolgere il seguente integrale, evidentemente $d>=L$:
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/L^2log(d^2/(d^2-L^2))$
E' interessante esaminare questi due casi limite:
$\lim_{L to 0}F=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/d^2$
$\lim_{d to +oo}F=0$
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/L^2log(d^2/(d^2-L^2))$
E' interessante esaminare questi due casi limite:
$\lim_{L to 0}F=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/d^2$
$\lim_{d to +oo}F=0$
Se ti può interessare:
$ E=frac{lambda}{4 pi epsilon}int_(-frac{L}{2})^(frac{L}{2}) frac{ds}{(x+s)^2} $
$ E=frac{lambda}{4 pi epsilon}(frac{1}{x-frac{L}{2}}-frac{1}{x+frac{L}{2}}) $
$ E=frac{lambda}{4 pi epsilon}int_(-frac{L}{2})^(frac{L}{2}) frac{ds}{(x+s)^2} $
$ E=frac{lambda}{4 pi epsilon}(frac{1}{x-frac{L}{2}}-frac{1}{x+frac{L}{2}}) $
Innanzitutto grazie per le risposte e scusate se rispondo solo ora ma ieri ho avuto 1 altro esame!
Comunque i modi di procedere postati mi sembrano entrambi molto interessanti! Cercherò di sviluppare il problema sia calcolando direttamente la forza che partendo dal campo elettric
Quei limiti danno un'idea immediata del legame tra le lunghezze e la distanza delle distribuzioni! Grazie davvero! Ora vedo la questione davvero in un quadro generale!!
Comunque i modi di procedere postati mi sembrano entrambi molto interessanti! Cercherò di sviluppare il problema sia calcolando direttamente la forza che partendo dal campo elettric
Quei limiti danno un'idea immediata del legame tra le lunghezze e la distanza delle distribuzioni! Grazie davvero! Ora vedo la questione davvero in un quadro generale!!
"speculor":
Prova a svolgere il seguente integrale, evidentemente $d>=L$:
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/L^2log(d^2/(d^2-L^2))$
E' interessante esaminare questi due casi limite:
$\lim_{L to 0}F=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/d^2$
$\lim_{d to +oo}F=0$
Non ho capito perchè gli estremi dell'integrale della seconda distribuzione variano tra $d$ e $d+L$
"cry111":
[quote="speculor"]Prova a svolgere il seguente integrale, evidentemente $d>=L$:
$F=1/(4\pi\epsilon_0)\int_{0}^{L}Q/Ldx_1\int_{d}^{d+L}Q/Ldx_(2)1/(x_1-x_2)^2=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/L^2log(d^2/(d^2-L^2))$
E' interessante esaminare questi due casi limite:
$\lim_{L to 0}F=1/(4\pi\epsilon_0)Q^2/d^2$
$\lim_{d to +oo}F=0$
Non ho capito perchè gli estremi dell'integrale della seconda distribuzione variano tra $d$ e $d+L$[/quote]
oltre a fatto che non ho capito se $1/(x_1-x_2)^2$ è fuori l'integrale doppio, il fatto che gli estremi scelti siano $d$ e $d+L$ è perchè $d$ è valore 'minimo' di distanza e si andasse a $2L$ dal momento che se vale la relazione:
$d+l >>l+l$
$d+l>>2l$ ?
"clever":
...oltre al fatto che non ho capito se $1/(x_1-x_2)^2$ è fuori l'integrale doppio...
Come può essere fuori se dipende dalle variabili di integrazione?
"clever":
...il fatto che gli estremi scelti siano $d$ e $d+L$ è perchè...
Basta considerare la seguente rappresentazione grafica:
L'ascissa del secondo estremo della seconda sbarretta è $[d+L/2+L/2]$, ottenuta aggiungendo alla distanza tra i $2$ centri metà lunghezza della prima sbarretta e metà lunghezza della seconda. L'ascissa del primo estremo della seconda sbarretta si ottiene sottraendo $[L]$ all'ascissa del secondo estremo appena calcolata.
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