Campo elettrico da sbarretta
Un sottile filo molto lungo di materiale isolante,parallelo all'asse x,è uniformemente carico con densità $lambda$.Calcolare il campo elettrostatico $E$ in un punto P dell'asse Y a distanza Y da un estremo
Qualcuno può farmi vedere i passaggi di risoluzione?
Suppongo che che E sia presente sull'asse x e sull'asse y
Grazie
Qualcuno può farmi vedere i passaggi di risoluzione?
Suppongo che che E sia presente sull'asse x e sull'asse y
Grazie
Risposte
La distanza del punto P è rispetto ad un estremo del filo oppure semplicemente dalla proiezione di P sull'asse x?
Perchè nel primo caso credo sarebbe necessaria la lunghezza del filo, ma dal momento che dice che il filo è molto lungo sembra debba essere utilizzata l'approssimazione di filo infinito, nel qual caso varrebbe la seconda interpretazione.
Questo è lo svolgimento nel secondo caso, tipico esercizio in cui utilizzare il teorema di Gauss.
Considera un cilindro di raggio r e altezza L coassiale con il filo.
Per motivi di simmetria il campo elettrico è ortogonale al filo ed è costante su ogni punto della superficie laterale del cilindro.
Applicando il teorema di Gauss si ha:
$\Phi(E) = E(r) * 2 \pi r L$
poichè il flusso è nullo attraverso le basi del cilindro.
La carica interna al cilindro è $Q = \lambda * L$, quindi si ha:
$E(r) * 2 \pi r L = (\lambda * L) / \epsilon_0$ ovvero $E(r) = \lambda / (2 \pi \epsilon_0 r)$.
Perchè nel primo caso credo sarebbe necessaria la lunghezza del filo, ma dal momento che dice che il filo è molto lungo sembra debba essere utilizzata l'approssimazione di filo infinito, nel qual caso varrebbe la seconda interpretazione.
Questo è lo svolgimento nel secondo caso, tipico esercizio in cui utilizzare il teorema di Gauss.
Considera un cilindro di raggio r e altezza L coassiale con il filo.
Per motivi di simmetria il campo elettrico è ortogonale al filo ed è costante su ogni punto della superficie laterale del cilindro.
Applicando il teorema di Gauss si ha:
$\Phi(E) = E(r) * 2 \pi r L$
poichè il flusso è nullo attraverso le basi del cilindro.
La carica interna al cilindro è $Q = \lambda * L$, quindi si ha:
$E(r) * 2 \pi r L = (\lambda * L) / \epsilon_0$ ovvero $E(r) = \lambda / (2 \pi \epsilon_0 r)$.
Ti ringrazio
con il teorema di gauss ok
Ma senza utilizzarlo,la soluzione del libro parte da $dEx=-lambda* dx*(sen(theta))/(4*pi*epsilon0*r^2)$=$lambda*d(cos(theta))/(4*pi*epsilon0*y)$
C'è un passaggio matematico che mi sfugge
Poi integra semplicemente $d(cos(theta))$ tra o e pigrego/2
Cioè ha posto la variabile d(cos(theta)),suppongopoichè per ogni porzione infinitesima di sbarra,varia l'angolo tra dE e l'asse y ad esempio
con il teorema di gauss ok
Ma senza utilizzarlo,la soluzione del libro parte da $dEx=-lambda* dx*(sen(theta))/(4*pi*epsilon0*r^2)$=$lambda*d(cos(theta))/(4*pi*epsilon0*y)$
C'è un passaggio matematico che mi sfugge
Poi integra semplicemente $d(cos(theta))$ tra o e pigrego/2
Cioè ha posto la variabile d(cos(theta)),suppongopoichè per ogni porzione infinitesima di sbarra,varia l'angolo tra dE e l'asse y ad esempio
Preferisco riscrivere tutto da zero magari in maniera un po' diversa, spero sia ugualmente chiaro.
Anche in questo caso ovviamente consideriamo solo i contributi sull'asse y, poichè quelli sull'asse x si annullano per simmetria.
Quindi abbiamo $d \vec E_y = (\lambda dl cos \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) \hat y$, dove $\theta$ è l'angolo formato dal vettore campo elettrico generato dall'elemento di filo $dl$ e la sua proiezione sull'asse y.
Vogliamo esprimere $dl$ ed $r$ in funzione di $\theta$ per poter poi integrare in questa variabile.
Facendosi un attimo una figura ci si accorge facilmente che $r = R / (cos \theta)$ ed $l = R tan \theta$, da cui differenziando si ottiene $dl = (R d \theta) / (cos^2 \theta)$.
Ora calcoliamo il campo $\vec E$ come somma dei contributi degli elementi $dl$ del filo.
$\vec E = \int d \vec E = (\lambda \hat y) / (4 \pi \epsilon_0) \int_(-\pi / 2)^(\pi / 2) (R d \theta) / (cos^2 \theta) (cos^2 \theta) / (R^2) cos \theta = (\lambda \hat y) / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_(-\pi / 2)^(\pi / 2) cos \theta d \theta = (\lambda \hat y) / (2 \pi \epsilon_0 R)$.
Ovviamente l'angolo $\theta$ varia tra $-\pi / 2$ e $\pi / 2$ poichè deve coprire l'intera estensione del filo infinito.
Anche in questo caso ovviamente consideriamo solo i contributi sull'asse y, poichè quelli sull'asse x si annullano per simmetria.
Quindi abbiamo $d \vec E_y = (\lambda dl cos \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) \hat y$, dove $\theta$ è l'angolo formato dal vettore campo elettrico generato dall'elemento di filo $dl$ e la sua proiezione sull'asse y.
Vogliamo esprimere $dl$ ed $r$ in funzione di $\theta$ per poter poi integrare in questa variabile.
Facendosi un attimo una figura ci si accorge facilmente che $r = R / (cos \theta)$ ed $l = R tan \theta$, da cui differenziando si ottiene $dl = (R d \theta) / (cos^2 \theta)$.
Ora calcoliamo il campo $\vec E$ come somma dei contributi degli elementi $dl$ del filo.
$\vec E = \int d \vec E = (\lambda \hat y) / (4 \pi \epsilon_0) \int_(-\pi / 2)^(\pi / 2) (R d \theta) / (cos^2 \theta) (cos^2 \theta) / (R^2) cos \theta = (\lambda \hat y) / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_(-\pi / 2)^(\pi / 2) cos \theta d \theta = (\lambda \hat y) / (2 \pi \epsilon_0 R)$.
Ovviamente l'angolo $\theta$ varia tra $-\pi / 2$ e $\pi / 2$ poichè deve coprire l'intera estensione del filo infinito.
scusami non ho letto tutto il tuo messaggio...ma non penso si annullino per simmetria i contributi sull'asse x.Questo perchè l'asse y ed il punto sono sopra un etremo della barretta
Grazie ancora
Grazie ancora
Forse non capito bene il testo dell'esercizio, ma mi pare che la situazione sia di questo tipo:
Scelto un punto P ci sono sempre due punti sull'asse x tali che la componente lungo x del campo in quel punto sia nulla.
Scelto un punto P ci sono sempre due punti sull'asse x tali che la componente lungo x del campo in quel punto sia nulla.
L'asse y è sull'estremo...ed il punto P è su tale asse,quindi non al centro ma sopra un estremo
Ho capito, avevo frainteso il testo dell'esercizio.
Considero il verso positivo dell'asse x orientato come il filo. Ugualmente a prima $r = R / (cos \theta)$ e $dl = (R d \theta) / (cos^2 \theta)$.
$d E_x = -(\lambda dl sin \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) = -(\lambda sin \theta d \theta) / (4 \pi \epsilon_0 R)$
$d E_y = (\lambda dl cos \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) = = (\lambda cos \theta d \theta) / (4 \pi \epsilon_0 R)$
Integrando le due componenti si ottiene:
$E_x = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_0^(\pi / 2) sin \theta d \theta = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R)$
$E_y = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_0^(\pi / 2) cos \theta d \theta = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R)$
Quindi $\vec E = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) (- 1, 1)$.
Considero il verso positivo dell'asse x orientato come il filo. Ugualmente a prima $r = R / (cos \theta)$ e $dl = (R d \theta) / (cos^2 \theta)$.
$d E_x = -(\lambda dl sin \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) = -(\lambda sin \theta d \theta) / (4 \pi \epsilon_0 R)$
$d E_y = (\lambda dl cos \theta) / (4 \pi \epsilon_0 r^2) = = (\lambda cos \theta d \theta) / (4 \pi \epsilon_0 R)$
Integrando le due componenti si ottiene:
$E_x = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_0^(\pi / 2) sin \theta d \theta = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R)$
$E_y = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) \int_0^(\pi / 2) cos \theta d \theta = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R)$
Quindi $\vec E = \lambda / (4 \pi \epsilon_0 R) (- 1, 1)$.
Grazie mille.....ho capito
Metto quest'altro esercizio
Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza $l$.Su di essa è distribuita uniformemente una carica $q$.Assunto un asse di riferimento coincidente con la direzione della barretta e origine nel suo centro,determinare il campo elettrico nei punti (d,0) e (0,d)
l=1m q=5nC d=2l
Allora io faccio nel seguente modo
$dq=lambdadx$ $dE=(lambdadx)/(4pi*epsilon0*r^2)$
Ora mi ricavo r in funzione di x,cioè la posizione della carica infinitesima dq rispetto al punto d
$r=l/2+d-x$
Quindi $dE=lambda/(4pi*epsilon0)*intdx/(l/2+d-x)^2$ con estremi -l/2 e +l/2
$E=lambda/(4pi*epsilon0)*|1/d-1/(d+l)|$
Dove sbaglio?
Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza $l$.Su di essa è distribuita uniformemente una carica $q$.Assunto un asse di riferimento coincidente con la direzione della barretta e origine nel suo centro,determinare il campo elettrico nei punti (d,0) e (0,d)
l=1m q=5nC d=2l
Allora io faccio nel seguente modo
$dq=lambdadx$ $dE=(lambdadx)/(4pi*epsilon0*r^2)$
Ora mi ricavo r in funzione di x,cioè la posizione della carica infinitesima dq rispetto al punto d
$r=l/2+d-x$
Quindi $dE=lambda/(4pi*epsilon0)*intdx/(l/2+d-x)^2$ con estremi -l/2 e +l/2
$E=lambda/(4pi*epsilon0)*|1/d-1/(d+l)|$
Dove sbaglio?
"Trave":
Ora mi ricavo r in funzione di x,cioè la posizione della carica infinitesima dq rispetto al punto d
$r=l/2+d-x$
Con $x$ stai indicando la distanza del generico punto della sbarretta dall'origine, quindi quello che ti serve è la distanza tra questo ed il punto $(d,0)$. Dovrebbe essere semplicemente $r = d - x$, considera il caso limite in cui $x = d = l / 2$.
Grazie della risposta......
Che sbadato,pensavo che d fosse la distanza dalla barretta....il poco sonno si fa sentire
Supponendo invece di avere la situazione di sopra però con i eguenti dati
La sbarra è lunga l,il punto P si trova a distanza $a$ da un estremo,pongo l'origine dell'asse $x$ nell'estremo opposto a quello in cui è vicino al punto P
Io faccio cosi per la distanza $r=l+a-x$ sbaglio?
quindi l'integrale nel campo elettrico $intdx/(l+a-x)^2$ con estremi di integrazione tra 0 ed l sbaglio?
Che sbadato,pensavo che d fosse la distanza dalla barretta....il poco sonno si fa sentire
Supponendo invece di avere la situazione di sopra però con i eguenti dati
La sbarra è lunga l,il punto P si trova a distanza $a$ da un estremo,pongo l'origine dell'asse $x$ nell'estremo opposto a quello in cui è vicino al punto P
Io faccio cosi per la distanza $r=l+a-x$ sbaglio?
quindi l'integrale nel campo elettrico $intdx/(l+a-x)^2$ con estremi di integrazione tra 0 ed l sbaglio?
La sbarretta è lunga $l$ e l'origine del sistema di riferimento coincide con il suo centro, quindi la sbarretta si estende da $- l / 2$ a $l / 2$.
Poi abbiamo un punto P a distanza $d$ dall'origine (chiaramente $d > l / 2$), quindi considerato un punto $x$ della sbarretta ($- l / 2 <= x <= l / 2$) la sua distanza dal punto P è $r = d - x$.
Come giustamente hai scritto si ha $dE = (\lambda dx) / (4 \pi \epsilon_0 r^2)$.
Quindi si tratta di fare questo integrale:
$E = \lambda / (4 \pi \epsilon_0) int_(- l / 2)^(l / 2) dx / (d - x)^2 = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0) int_(d + l / 2)^(d - l / 2) dt / t^2 = (\lambda l) / (\pi \epsilon_0 (4 d^2 - l^2)) = q / (\pi \epsilon_0 (4 d^2 - l^2))$
Poi abbiamo un punto P a distanza $d$ dall'origine (chiaramente $d > l / 2$), quindi considerato un punto $x$ della sbarretta ($- l / 2 <= x <= l / 2$) la sua distanza dal punto P è $r = d - x$.
Come giustamente hai scritto si ha $dE = (\lambda dx) / (4 \pi \epsilon_0 r^2)$.
Quindi si tratta di fare questo integrale:
$E = \lambda / (4 \pi \epsilon_0) int_(- l / 2)^(l / 2) dx / (d - x)^2 = - \lambda / (4 \pi \epsilon_0) int_(d + l / 2)^(d - l / 2) dt / t^2 = (\lambda l) / (\pi \epsilon_0 (4 d^2 - l^2)) = q / (\pi \epsilon_0 (4 d^2 - l^2))$
ti ringrazio delle sempre puntuali risposte...
Però il mio dubbio è i lcalcolo nel caso in cui l'asse x lo faccio partire dall'estremo opposto in cui c'è vicino p
|----------L---------------||---a---|
----------------------------______oP
------------------------------------->x
Spero si capisca
Però il mio dubbio è i lcalcolo nel caso in cui l'asse x lo faccio partire dall'estremo opposto in cui c'è vicino p
|----------L---------------||---a---|
----------------------------______oP
------------------------------------->x
Spero si capisca
Scusami, non avevo letto con attenzione il tuo ultimo messaggio.
Il procedimento da te indicato è corretto.
Il procedimento da te indicato è corretto.
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