Campo elettrico conduttore cavo

[Brufus1]

Per quale motivo il campo elettrico all'esterno è simmetrico? Forse la risposta è banale ma non riesco a vederla

[Brufus1]

Quello su cui faccio confusione sono gli argomenti che possono essere utilizzati come ipotesi assodate, come postulati, e quali sono gli argomenti che vanno dimostrati.
In matematica la faccenda è abbastanza chiara, si parte da certi assiomi e si deducono nuovi teoremi.
In fisica non capisco mai cosa è accettabile perchè assodato come esperienza di laboratorio, cosa lo è perchè accettato come postulato a priori astratto e cosa invece bisogna "dimostrare".
Nel nostro caso:

1) diamo per buono che il campo elettrico all'interno di un conduttore all'equilibrio sia nullo. Lo accettiamo per via delle esperienze di laboratorio?

2)Le cariche sulla superficie esterna al guscio si dispongono con densità uniforme perchè lo osserviamo sperimentalmente? e quindi poi a ritroso possiamo affermare che le cariche negative annullano il campo della carica sorgente?

3) l'unicità della soluzione è un risultato fornito dall'analisi. Trattando il problema come uno di "fisica-matematica" quali assiomi sono adottati nel modello matematizzato?

Volendo ordinare in sequenza logica i ragionamenti corretti come dovremmo procedere? Ogni passaggio deve essere giustificato. Io non so qual è l'ordine esatto, non so nemmeno quali sono i ragionamenti da fare, è quello che vorrei scoprire però dichiariamo all'inizio cosa sappiamo per ipotesi. Come potremmo spiegare ad un ragazzo delle superiori che non sa cos'è un laplaciano la bontà dei nostri ragionamenti?

1)Io direi che accettiamo come valido il fatto che il che il campo elettrico all'interno del guscio sia nullo all'equilibrio.

2)? osserviamo sperimentalmente che le cariche positive si dispongono simmetricamente sulla superficie esterna? Oppure dobbiamo arrivarci da soli ? In questo caso dovremmo dedurlo come? ragionando per assurdo? io non so come andare avanti

[mgrau]

"Brufus":
2)? osserviamo sperimentalmente che le cariche positive si dispongono simmetricamente sulla superficie esterna? Oppure dobbiamo arrivarci da soli ? In questo caso dovremmo dedurlo come? ragionando per assurdo? io non so come andare avanti

C'è un venerando principio che si chiama principio di ragion sufficiente, che, in linguaggio più moderno, si chiama simmetria. E' lo stesso che, per esempio, permette di ricavare il campo elettrico di un piano carico

[Brufus1]

ok ma non so se stiamo parlando della stessa cosa. Il ragionamento per simmetria mi può andar bene perchè è una conseguenza degli assiomi precedenti. Più che simmetria direi che è un ragionamento per assurdo.Sarebbe assurdo che le linee di campo si intersecassero se assumiamo che ogni carica puntiforme generi un campo radiale. In questo caso io non ho la minima idea di dove mettere le mani. Potrebbe darsi che la distribuzione esterna non sia simmetrica ma il campo elettrico interno sia comunque nullo a priori o sbaglio?

[mgrau]

"Brufus":.Sarebbe assurdo che le linee di campo si intersecassero se assumiamo che ogni carica puntiforme generi un campo radiale.

Le linee di campo non si intersecano per definizione. Non c'è bisogno di assumere nulla E il fatto che una carica puntiforme generi un campo radiale è un 'altra applicazione della simmetria.

"Brufus": Potrebbe darsi che la distribuzione esterna non sia simmetrica ma il campo elettrico interno sia comunque nullo a priori o sbaglio?

Provo a darti un suggerimento. I metodi della fisica non sono quelli della matematica. Il rigore non è la principale preoccupazione dei fisici, che usano spesso quelle che tu chiami, se non ricordo male, praticonate

[Brufus1]

si hai ragione intendevo dire che le linee di campo fossero oblique. Per quanto riguarda la simmetria della carica radiale non credi che sia una base di partenza sperimentale? L'esperienza ci aiuta a capire il comportamento di una situazione semplice.
Comunque d'accordo assumiamo che i fisici non utilizzino un rigore formale (che poi non è vero perchè i fisici-matematici sono più rigorosi che mai), ma che tipo di ragionamento seguono per risolvere quell'esercizio?
tipo questo?

1) sono sicuro che il campo elettrico all'interno di un conduttore in equilibrio è nullo.

2)per il teorema di gauss sono sicuro che la carica sulla superficie interna sia uguale in modulo a quella sorgente.

3)Barando guardo la configurazione finale e mi accorgo che la carica esterna è distribuita omogeneamente.
Da questo deduco a posteriori che una tale configurazione più l'assumere che la carica negativa sulla superficie interna schermi il campo elettrico della carica sorgente è una configurazione risolutiva compatibile.

4)Avendo studiato anche il problema dal punto di vista matematico so che se trovo una soluizione essa è unica.

5) ho finito!

Così potrebbe andare?

[mgrau]

"Brufus":
3)Barando guardo la configurazione finale e mi accorgo che la carica esterna è distribuita omogeneamente.

Perchè "barando"? Non c'è bisogno di guardare niente e di accorgersi di niente. E' un ragionamento a priori, e, da matematico, dovrebbe piacerti... simmetria, simmetria!

"Brufus":
4)Avendo studiato anche il problema dal punto di vista matematico so che se trovo una soluzione essa è unica.

Perchè dovremmo preoccuparci dell'unicità? Non ce ne siamo preoccupati per il campo interno, dove non entra in ballo la simmetria, e dovremmo preoccuparcene per quello esterno, dove la soluzione è nota a priori?
Forse quel che non ti garba è il fatto di trattare il problema come due problemi separati. Eppure è così: le cariche interne producono una campo zero nel conduttore. Le cariche esterne anche. Insomma, la presenza del conduttore disaccoppia i due problemi. Qualsiasi cosa succeda fuori non influenza l'interno, e viceversa.
Sposti la carica nella cavità: si muovono le cariche sulla superficie interna, non quelle fuori.
Avvicini cariche o conduttori all'esterno: si spostano le cariche esterne, quelle interne no.

[Brufus1]

mi potresti spiegare perché è ovvio che il campo elettrico generato dalla carica nella cavità e quello prodotto dalla distribuzione di carica negativa interna è nullo all'interno del conduttore? ovviamente senza avere alcuna informazione su come si dispongono le cariche positive all'esterno.
sto diventando pazzo ti prego aiutami a capire

[mgrau]

"Brufus":mi potresti spiegare perché è ovvio che il campo elettrico generato dalla carica nella cavità e quello prodotto dalla distribuzione di carica negativa interna è nullo all'interno del conduttore? ovviamente senza avere alcuna informazione su come si dispongono le cariche positive all'esterno.

Le cariche esterne puoi anche non averle. Se colleghi la palla centrale e il guscio ad un generatore, questo succede. Hai una certa differenza di potenziale fra palla e guscio, una certa distribuzione di cariche sulla faccia interna (niente su quella esterna), di cui possiamo disinteressarci del tutto; la cosa che ci interessa è che si dispongono in modo da rendere nullo il campo entro il conduttore.

[Brufus1]

temo di non capire.La palla centrale quale sarebbe? Nel disegno è schematizzata una carica puntiforme.Il ragionamento che fai mi lascia intendere che stai facendo un 'analogia con una situazione diversa.E che poi la conclusione è accettare le cose guardandole. Quindi in sostanza diciamo quello che diciamo a posteriori perché lo osserviamo perché a priori non lo sapevamo?

[mgrau]

"Brufus":La palla centrale quale sarebbe? Nel disegno è schematizzata una carica puntiforme.

Carica puntiforme? E vada per la carica puntiforme. Non mi pare cambi gran che.

"Brufus":Il ragionamento che fai mi lascia intendere che stai facendo un 'analogia con una situazione diversa.E che poi la conclusione è accettare le cose guardandole. Quindi in sostanza diciamo quello che diciamo a posteriori perché lo osserviamo perché a priori non lo sapevamo?

Credo di aver esaurito le frecce al mio arco. Forse altri canterà con miglior plettro...

[Lampo1089]

"Brufus":mi potresti spiegare perché è ovvio che il campo elettrico generato dalla carica nella cavità e quello prodotto dalla distribuzione di carica negativa interna è nullo all'interno del conduttore?

Lasciando per un attimo da parte l'aggettivo "ovvio" - riflettendoci ti risponderei dicendo che la motivazione più fondamentale che mi viene in mente è il principio di sovrapposizione degli effetti.
Ossia, questo problema è equivalente alla sovrapposizione di:
1) conduttore cavo a potenziale fissato nullo, con all'interno la distribuzione di carica di volume - o più semplicemente una carica puntiforme - di carica totale Q.
2) conduttore cavo a potenziale Q/C, dove C è la capacità del conduttore, e con all'interno nessuna carica.

In particolare, il problema 1) fornisce un potenziale che si annulla entro il conduttore e in tutta la regione esterna; dal potenziale si ricava la distribuzione di carica di superficie nella faccia interna (per Gauss la carica totale sulla sup interna deve essere pari a -Q). Dalla continuità del campo elettrico sulla superficie esterna discende che la distribuzione di carica superficiale su tale faccia si annulla. Come ti dicevo, ricavare la distribuzione effettiva potrebbe essere complicato (ma in questa situazione, con simmetria sferica, è fattibile anche in maniera esatta, facilmente per una carica puntiforme nella cavità), ma una volta trovata la soluzione del problema la condizione al contorno $V=0$ garantisce campo nullo nel conduttore.
Nota che questa è una soluzione di un problema fisicamente significativo (cioé, lo puoi replicare sperimentalmente, non è un semplice artificio matematico ...) e che questa soluzione è indipendente dalla geometria esterna del conduttore: dipende solamente dalla geometria della cavità e dalla specifica distribuzione di carica.

Viceversa, il problema 2) ha come soluzione potenziale costante ovunque nel conduttore (anche nella regione cava, conseguenza dell'effetto Faraday) perché il campo elettrico all'interno del conduttore si annulla. Il fatto che ci sia una cavità al suo interno non importa - e nemmeno la sua geometria - poiché il caso conduttore pieno e conduttore cavo sono perfettamente equivalenti in termini di potenziale. Siccome conosciamo il potenziale prodotto da un conduttore sferico - che è a simmetria sferica, equivalente a quello generato da una carica puntiforme di carica Q - sappiamo anche che la distribuzione di carica sulla faccia esterna è uniforme data la simmetria sferica del campo risultante. Dato che il campo è internamente nullo ovunque, la distribuzione di carica superficiale sulla faccia interna è identicamente nulla. Questa configurazione annulla il campo elettrico all'interno del conduttore. Nota che questa soluzione è indipendente dalla geometria della cavità e inoltre è fisicamente significativa (con la stessa accezione usata prima).

Per concludere: entrambi i problemi 1) e 2) sono indipendenti - uno dipende dalla geom esterna, l'altro da quella interna - hanno ciascuno una soluzione fisicamente significativa (e realizzabile) e ciascuno produce un campo elettrico nullo all'interno del conduttore.
Quindi, che accade se sposto la distribuzione di carica? Cambierà la distribuzione di carica sulla sup. interna, ma esternamente non cambia nulla! Questo è quanto mgrau ti ha spiegato in un vecchio post.
Un appunto: questo modo di procedere - che tu chiami se non sbaglio ragionare "a rate" - è il modo in cui i matematici risolvono problemi lineari: in questo caso si tratta di PDE, ma tieni conto che la linearità della PDE è dovuta alla linearità delle equ di maxwell e - di riflesso - dal fatto che le osservazioni sperimentali confermano la validità del principio di sovrapposizione in ambito classico.

Spero che sia più chiaro e che non sia più solo un insieme di "praticonerie" da fisico, anche perché non saprei più in che altro modo spiegarmi senza ripetere quanto già detto.