Campo elettrico con densità non uniforme

cucinolu951
Salve a tutti,
Sto risolvendo un esercizio nel quale viene posta in analisi una sfera di raggio R1 con carica Q con densità variabile in funzione del raggio ρ(r)=ρ0(1-r/R1). la sfera è posta all'interno di un guscio conduttore con una carica -Q al suo interno, di raggio interno R2 e raggio esterno R3.
Il problema mi chiede di calcolare la carica Q, non specificando però in che posizione. Io ho trovato il valore della carica sulla superficie della sfera, quindi al raggio R. quindi:
$ Q=int_(0)^(R) rho 4pir^2 dr $
da cui, facendo le opportune sostituzioni
$ Q(R)=1/3rhopiR^3 $
Successivamente mi si chiede di calcolare il campo elettrico all'interno della sfera e tra la sfera e il guscio.
Per il campo elettrico all'interno della sfera mi servo della legge di Gauss ottenendo quindi
$ E=Q/(4pir^2 varepsilon $
il mio dubbio arriva adesso. Dato che la densità di carica non è uniforme non posso procedere come si procederebbe nel caso in cui lo fosse. Quindi al posto della Q devo sostituire quale valore? il valore di Q al raggio R1 oppure il valore di Q generale in funzione di r?

Grazie mille in anticipo :)

Risposte
donald_zeka
Secondo te che valore ci va messo?

cucinolu951
secondo me, dato che la carica non è distribuita uniformemente il campo sarà anch'esso variabile (funzione del raggio), il valore della carica in funzione del raggio. Corretto?

donald_zeka
Non c'entra niente la densità uniforme, qual è la carica presente nella formula della legge di Gauss?

cucinolu951
Quella interna alla superficie gaussiana che considero contenente l'intera sfera di raggio R1

donald_zeka
No...se vuoi calcolare il campo elettrico ad un certo raggio $r

cucinolu951
Allora per trovare questo valore del campo elettrico si considera una superficie gaussiana di raggio r $ (q')/(4pir^3)=q/(4piR^3) $
da cui ancora
$ q'=(qr^3)/R^3 $
Non so come procedere nel caso in questione perchè non posso ricorrere a quell'uguaglianza, credo.

donald_zeka
Se hai la densità di carica nota (costante o non constante, non ha nessuna importanza), come ottieni la carica contenuta in un certo volume?...E' una cosa banale, non puoi avere questi dubbi

cucinolu951
la carica contenuta in un volume è data da $ q=rhoV $ . Intendi questo?

donald_zeka
No, intendo $dq=rhodV$

cucinolu951
ok e quindi il campo elettrico è uguale a $ E=(rhoR^3)/(3r^2varepsilon) $ , sostituisco il valore di rho noto e ottengo il valore del campo elettrico ? Grazie per le continue risposte e scusami per il tempo che ti sto facendo perdere

donald_zeka
No, aspetta, come hai ottenuto quella formula? Cosa significa $dq=rhodV$? Se vuoi trovare la carica contenuta in un volume V. cosa ci devi fare con $dq=rhodV$?

cucinolu951
ho pensato che per trovare la carica totale devo integrare dq, no?
$ q=int_0^R rho4pir^2dr $ solo che adesso mi sono accorto di aver commesso un errore perchè rho contiene r (variabile), però in questo modo arrivo al valore della carica Q che avevo scritto nel primo post. :?

donald_zeka
:smt021 Cosa rappresenta questo integrale $int_0^Rrho4pir^2dr$ ? Rappresenta la carica totale contenuta in una sfera di raggio $R$, infatti come estremo di integrazione c'è $R$, se te prendi una sfera di raggio $r

cucinolu951
un r qualsiasi con r

donald_zeka
Si esatto

cucinolu951
Grazie mille per avermi condotto al risultato in questo modo. adesso mi è più chiara anche la situazione in cui rho è costante.
Invece per quanto riguarda il campo tra la sfera e il guscio, questo risulta essere $ E=Q/(4pir^2varepsilon) $ con Q la carica che si registra sulla sup della sfera?

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