Campo elettrico con densità non uniforme
Salve a tutti,
Sto risolvendo un esercizio nel quale viene posta in analisi una sfera di raggio R1 con carica Q con densità variabile in funzione del raggio ρ(r)=ρ0(1-r/R1). la sfera è posta all'interno di un guscio conduttore con una carica -Q al suo interno, di raggio interno R2 e raggio esterno R3.
Il problema mi chiede di calcolare la carica Q, non specificando però in che posizione. Io ho trovato il valore della carica sulla superficie della sfera, quindi al raggio R. quindi:
$ Q=int_(0)^(R) rho 4pir^2 dr $
da cui, facendo le opportune sostituzioni
$ Q(R)=1/3rhopiR^3 $
Successivamente mi si chiede di calcolare il campo elettrico all'interno della sfera e tra la sfera e il guscio.
Per il campo elettrico all'interno della sfera mi servo della legge di Gauss ottenendo quindi
$ E=Q/(4pir^2 varepsilon $
il mio dubbio arriva adesso. Dato che la densità di carica non è uniforme non posso procedere come si procederebbe nel caso in cui lo fosse. Quindi al posto della Q devo sostituire quale valore? il valore di Q al raggio R1 oppure il valore di Q generale in funzione di r?
Grazie mille in anticipo
Sto risolvendo un esercizio nel quale viene posta in analisi una sfera di raggio R1 con carica Q con densità variabile in funzione del raggio ρ(r)=ρ0(1-r/R1). la sfera è posta all'interno di un guscio conduttore con una carica -Q al suo interno, di raggio interno R2 e raggio esterno R3.
Il problema mi chiede di calcolare la carica Q, non specificando però in che posizione. Io ho trovato il valore della carica sulla superficie della sfera, quindi al raggio R. quindi:
$ Q=int_(0)^(R) rho 4pir^2 dr $
da cui, facendo le opportune sostituzioni
$ Q(R)=1/3rhopiR^3 $
Successivamente mi si chiede di calcolare il campo elettrico all'interno della sfera e tra la sfera e il guscio.
Per il campo elettrico all'interno della sfera mi servo della legge di Gauss ottenendo quindi
$ E=Q/(4pir^2 varepsilon $
il mio dubbio arriva adesso. Dato che la densità di carica non è uniforme non posso procedere come si procederebbe nel caso in cui lo fosse. Quindi al posto della Q devo sostituire quale valore? il valore di Q al raggio R1 oppure il valore di Q generale in funzione di r?
Grazie mille in anticipo

Risposte
Secondo te che valore ci va messo?
secondo me, dato che la carica non è distribuita uniformemente il campo sarà anch'esso variabile (funzione del raggio), il valore della carica in funzione del raggio. Corretto?
Non c'entra niente la densità uniforme, qual è la carica presente nella formula della legge di Gauss?
Quella interna alla superficie gaussiana che considero contenente l'intera sfera di raggio R1
No...se vuoi calcolare il campo elettrico ad un certo raggio $r
Allora per trovare questo valore del campo elettrico si considera una superficie gaussiana di raggio r
$ (q')/(4pir^3)=q/(4piR^3) $
da cui ancora
$ q'=(qr^3)/R^3 $
Non so come procedere nel caso in questione perchè non posso ricorrere a quell'uguaglianza, credo.
da cui ancora
$ q'=(qr^3)/R^3 $
Non so come procedere nel caso in questione perchè non posso ricorrere a quell'uguaglianza, credo.
Se hai la densità di carica nota (costante o non constante, non ha nessuna importanza), come ottieni la carica contenuta in un certo volume?...E' una cosa banale, non puoi avere questi dubbi
la carica contenuta in un volume è data da $ q=rhoV $ . Intendi questo?
No, intendo $dq=rhodV$
ok e quindi il campo elettrico è uguale a $ E=(rhoR^3)/(3r^2varepsilon) $ , sostituisco il valore di rho noto e ottengo il valore del campo elettrico ? Grazie per le continue risposte e scusami per il tempo che ti sto facendo perdere
No, aspetta, come hai ottenuto quella formula? Cosa significa $dq=rhodV$? Se vuoi trovare la carica contenuta in un volume V. cosa ci devi fare con $dq=rhodV$?
ho pensato che per trovare la carica totale devo integrare dq, no?
$ q=int_0^R rho4pir^2dr $ solo che adesso mi sono accorto di aver commesso un errore perchè rho contiene r (variabile), però in questo modo arrivo al valore della carica Q che avevo scritto nel primo post.
$ q=int_0^R rho4pir^2dr $ solo che adesso mi sono accorto di aver commesso un errore perchè rho contiene r (variabile), però in questo modo arrivo al valore della carica Q che avevo scritto nel primo post.


un r qualsiasi con r
Si esatto
Grazie mille per avermi condotto al risultato in questo modo. adesso mi è più chiara anche la situazione in cui rho è costante.
Invece per quanto riguarda il campo tra la sfera e il guscio, questo risulta essere $ E=Q/(4pir^2varepsilon) $ con Q la carica che si registra sulla sup della sfera?
Invece per quanto riguarda il campo tra la sfera e il guscio, questo risulta essere $ E=Q/(4pir^2varepsilon) $ con Q la carica che si registra sulla sup della sfera?
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