Campo e potenziale elettrico sfera

[smaug1]

All'interno di una sfera di raggio $R$ è uniformemente distribuita una carica $Q$. In un punto distante $R/2$ dal centro della sfera il potenziale vale $V'$. Determinare il valore di $R$.

In pratica esternamente alla sfera posso dire che il potenziale vale $V = Q / (4 \pi \varepsilon_0\ r )$ come nel caso di una superficie sferica, mentre all'interno, nella superficie sferica il potenziale era costante in quanto il campo elettrico nullo, e valeva $V = Q / (4 \pi \varepsilon_0\ R )$ mentre qui è diverso! Quanto vale?

[mathbells]

Devi determinare il campo elettrico all'interno della sfera con il teorema di Gauss, poi integri il campo da $r=R/2$ a $r=\infty$ e poni l'integrale uguale a $V'$

[smaug1]

Il campo all'interno è $E = (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)$ e $V (R/2) = \int_(R/2)^(oo) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr$

Quindi $V (R/2) = \int_(R/2)^(R) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr + \int_(R)^(oo) (\rho\ R^3) / (3\ \varepsilon_0\ r)\ dr$

Quindi per capire se voglio calcolarmi il potenziale in un punto devo fare l'integrale da quel punto all'infinito del campo elettrico? sempre?

[mathbells]

"smaug":Il campo all'interno è $E = (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)$ e $V (R/2) = \int_(R/2)^(oo) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr$

Si però, (come poi hai fatto correttamente nel seguito...), il campo da R a infinito non è lo stesso di quello da R/2 ad R e quindi la formula che hai scritto non va bene

"smaug":Quindi $V (R/2) = \int_(R/2)^(R) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr + \int_(R)^(oo) (\rho\ R^3) / (3\ \varepsilon_0\ r)\ dr$

...ecco...qui hai scritto bene.

"smaug":Quindi per capire se voglio calcolarmi il potenziale in un punto devo fare l'integrale da quel punto all'infinito del campo elettrico? sempre?

Sì, nell'ipotesi che il potenziale ad infinito sia nullo. In generale devi fare l'integrale da quel punto al punto in cui il potenziale è nullo.

[chiaraotta1]

Mi sembra che si potrebbe ragionare così ...
Se il campo nella sfera ha andamento
$E(r)=rho/(3 epsilon_0)r=Q/(4pi epsilon_0)*r/R^3=kQ/R^3r$
e il potenziale al centro è
$V(0)=3/2kQ/R$
(viewtopic.php?f=19&t=97991&hilit=+potenziale#p650150),
allora il potenziale nella sfera ha andamento
$V(r)=3/2kQ/R-1/2kQ/R^3r^2$.
Da cui
$V'=V(R/2)=3/2kQ/R-1/2kQ/R^3(R/2)^2=11/8kQ/R$
e
$R=11/8 kQ/(V')$.

[smaug1]

grazie mille ad entrambi

[smaug1]

"smaug":

Quindi $V (R/2) = \int_(R/2)^(R) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr + \int_(R)^(oo) (\rho\ R^3) / (3\ \varepsilon_0\ r)\ dr$

$V (R/2) = \int_(R/2)^(R) (\rho\ r) / (3\ \varepsilon_0)\ dr + \int_(R)^(oo) (\rho\ R^3) / (3\ \varepsilon_0\ r^2)\ dr$


questo è corretto, avevo sbagliato al secondo termine, vero?