Campo e d.d.p. di due lastre metalliche
Ciao a tutti. Propongo questo esercizio e parte dello svolgimento seguito perché desidero chiarire alcune cose. Si hanno due lastre conduttrici piane e parallele tra di loro, alle quali vengono conferite la carica $ Q $ e la carica $ -Q $. La distanza tra le due lastre è pari a $ d $ e la loro estensione è $ A $. La richiesta del problema è di calcolare il campo elettrostatico nelle tre zone che si vengono a formare (a sinistra, tra le due lastre, e a destra).
A seguito della deposizione della carica nelle lastre si verranno a formare delle distribuzioni superficiali di carica $ sigma_1 $, $ sigma_2 $, $ sigma_3 $ e $ sigma_4 $ . Qui mi sorge spontanea la prima considerazione: ciò avviene perché, anche se il problema non lo dice, si sta considerando le conduttrici in equilibrio elettrostatico? Inoltre le distribuzioni sono diverse dato che lo spessore delle lastre non è trascurabile? (come trovo scritto). Anche qui il problema non dice nulla a riguardo però effettivamente nel disegno che mi ritrovo le lastre assumono uno spessore non trascurabile. Non sono dei semplici piani. È davvero giusta come considerazione?
Successivamente per conservazione della carica si pone: $ { ( sigma_1A+sigma_2A=Q ),( sigma_3A+sigma_4A=-Q ):} $
A questo punto si calcola il campo $ E_(dx) $ alla destra delle lastre col principio di sovrapposizione:
$ E_(dx)=sigma_1/(2epsi_0)+sigma_2/(2epsi_0) +sigma_3/(2epsi_0)+sigma_4/(2epsi_0) $
Tale equazione, raggruppando i primi due termini e gli ultimi due, restituisce una volta unita alla prima:
$ sigma_1/(2epsi_0)+sigma_2/(2epsi_0) +sigma_3/(2epsi_0)+sigma_4/(2epsi_0)=(sigma_1+sigma_2)/(2epsi_0)+(sigma_3+sigma_4)/(2epsi_0)=Q/(2epsi_0 A) -Q/(2epsi_oA)=0 $
Ciò significa che il campo a destra del sistema (e per simmetria anche nella regione di sinistra) è nullo.
Adesso viene fatto un passaggio che non capisco. Si applica il teorema di Gauss ad una scatola cilindrica ortogonale ad una piastra e con una base nella regione di spazio esterna ed una sulla lastra stessa, per dimostrare che $ sigma_1 $ e $ sigma_4 $ sono nulle.
Attraverso l'area laterale e la base che si trova nella regione in cui il campo è nullo, il flusso è certamente nullo.
Ma non capisco perché viene considerato nullo anche il flusso attraverso la base che si trova sulla lastra. A quel punto chiaramente considerato nullo il flusso totale attraverso questa gaussiana allora la densità superficiale, sia $ sigma_1 $ che $ sigma_4 $ si dimostra essere nulla.
Mi sapreste aiutare? Grazie
Risposte
"Mynameis":
... Ma non capisco perché viene considerato nullo anche il flusso attraverso la base che si trova sulla lastra.
Non si trova "sulla", ma "nella" lastra, dove il campo è di certo nullo, altrimenti cosa c'entrerebbe la densità di carica $\sigma_1$?
Lo spessore delle lastre non ha influenza sulla distribuzione della carica, per quanto piccolo sia, è sempre maggiore di zero e quindi, dal punto di vista teorico, non c'è un limite inferiore per il suo valore.
Il campo nella lastra è nullo perché la consideri in equilibrio elettrostatico? E poi assunto che ad una lastra viene data questa carica $ Q $ cosa discrimina il fatto che la carica si distribuisca con due densità superficiali $ sigma_1 $ e $ sigma_2 $ oppure con una sola densità solo sulla parete interna della lastra?
"Mynameis":
Il campo nella lastra è nullo perché la consideri in equilibrio elettrostatico?...
Ovviamente, avresti il "coraggio" di supporre altrimenti?
"Mynameis":
... cosa discrimina il fatto che la carica si distribuisca con due densità superficiali $ sigma_1 $ e $ sigma_2 $ oppure con una sola densità solo sulla parete interna della lastra?
L' ambiente che la circonda; volendo dirlo bene: le "condizioni al contorno".
Risolta la prima questione vorrei approfondire la seconda. Mi chiariresti il secondo punto? Ad esempio quale potrebbe essere una situazione in cui le densità di carica sono due e non una. E quando essa è unica, come posso stabilire se essa la si ritrova nella parete esterna o interna?
"Mynameis":
Risolta la prima questione vorrei approfondire la seconda. Mi chiariresti il secondo punto? Ad esempio quale potrebbe essere una situazione in cui le densità di carica sono due e non una. ...
Potrebbe semplicemente essere quella nella quale le due lastre sono diversamente cariche; prova per esempio a rideterminare le quattro densità del tuo problema con carica due coulomb sulla lastra sinistra e tre coulomb sulla lastra destra, entrambe positive, con $A=1 \ \text{m}^2$ .
"Mynameis":
... E quando essa è unica, come posso stabilire se essa la si ritrova nella parete esterna o interna?
Ripeti il precedente calcolo con entrambe le cariche pari a +2 coulomb.
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