Campo di un (altro) piano spesso
Ciao a tutti, mi sono imbattuta in un altro problema con un "piano spesso":
In un sistema di coordinate cartesiane, nel volume compreso tra i piani $x = 0$ e $x = a$ con $a = 0.0994 m$
è data la distribuzione di carica elettrica con densità di volume pari a $rho(x) = rho_0e^(-x/a)$, con $rho_0 = 1.11 (nC)/m^3$.
Una particella di massa $m = 0.3 ng$, e carica $q = 41.1 nC$, è posta nel punto A di coordinate $ (x_A = 3a,
y_A = 0, z_A = 0)$ con velocità parallela all'asse delle x e diretta verso l'origine del sistema di riferimento.
Determinare la minima velocità, in m/s, tale che la particella possa raggiungere il punto B di coordinate
$(x_B = a, y_B = 0, z_B = 0)$.
(Ho inserito i dati numerici perché non mi torna il risultato)
Ho provato a risolverlo con la legge di conservazione dell'energia:
$DeltaE_k = L_(con) = qint_(3a)^a vecE * dvecx$
Il campo elettrico l'ho calcolato con Gauss, prendendo un parallelepipedo con facce parallele al "piano spesso", entrambe fuori dalla distribuzione di carica:
$2E = 1/epsilon_0 int_0^a rho_0e^(-x/a) dx$
$2E = 1/epsilon_0 rho_0[-a*e^(-x/a)]_0^a $
$E= rho_0*a/(2*epsilon_0) *(1-e^(-1)) $
e quindi
$ -1/2mv^2 = q*rho_0*a/(2*epsilon_0) *(1-e^(-1))*(-2a)$
$v = sqrt(q*rho_0*2a^2/(m*epsilon_0) *(1-e^(-1))$
Sbaglio qualcosa nel ragionamento? Grazie :)
In un sistema di coordinate cartesiane, nel volume compreso tra i piani $x = 0$ e $x = a$ con $a = 0.0994 m$
è data la distribuzione di carica elettrica con densità di volume pari a $rho(x) = rho_0e^(-x/a)$, con $rho_0 = 1.11 (nC)/m^3$.
Una particella di massa $m = 0.3 ng$, e carica $q = 41.1 nC$, è posta nel punto A di coordinate $ (x_A = 3a,
y_A = 0, z_A = 0)$ con velocità parallela all'asse delle x e diretta verso l'origine del sistema di riferimento.
Determinare la minima velocità, in m/s, tale che la particella possa raggiungere il punto B di coordinate
$(x_B = a, y_B = 0, z_B = 0)$.
(Ho inserito i dati numerici perché non mi torna il risultato)
Ho provato a risolverlo con la legge di conservazione dell'energia:
$DeltaE_k = L_(con) = qint_(3a)^a vecE * dvecx$
Il campo elettrico l'ho calcolato con Gauss, prendendo un parallelepipedo con facce parallele al "piano spesso", entrambe fuori dalla distribuzione di carica:
$2E = 1/epsilon_0 int_0^a rho_0e^(-x/a) dx$
$2E = 1/epsilon_0 rho_0[-a*e^(-x/a)]_0^a $
$E= rho_0*a/(2*epsilon_0) *(1-e^(-1)) $
e quindi
$ -1/2mv^2 = q*rho_0*a/(2*epsilon_0) *(1-e^(-1))*(-2a)$
$v = sqrt(q*rho_0*2a^2/(m*epsilon_0) *(1-e^(-1))$
Sbaglio qualcosa nel ragionamento? Grazie :)
Risposte
Mi sembra svolto correttamente.
Grazie Quinzio!
Dai miei calcoli ottengo la seguente per la velocità iniziale:
\[
v = a\sqrt{\frac{q \rho_0 \left(1 + \frac{1}{e}\right)}{m \epsilon_0}} = 481.79\,m/s
\]
La domanda vera lato mio è questa: l'integrale per la variazione di energia cinetica contiene una forza dipendente dalla posizione (perché il campo elettrico all'interno della sbarretta dipende dalla posizione). Ma con Gauss hai calcolato il campo all'esterno della sbarretta: capisco bene?
---------------------
nb calcoli che temo siano sbagliati, ma la domanda che ho sollevato è ancora aperta. Risultato "sperabilmente" corretto:
\[
v = a \sqrt{\frac{2 q\rho_0}{m\epsilon_0}} \sqrt{1 + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{e}\right)\left[\ln\left(\frac{1+e}{2}\right)-1\right] } = 501.208\, m/s
\]
EDIT: ora è tutto più chiaro:
1) il tuo procedimento (e immagino anche il risultato) è corretto - ovviamente fuori dalla lastra - in particolare tra a e 3a - il campo è uniforme
2) nelle consegne, ho letto \(x_B = 0\) invece che \(x_B = a\)
morale:
1) (per me) devo andare dall'oculista - ok che ho letto il testo di sfuggita e sul telefono, ma confondere "0" con "a" ce ne vuole ...
2) se vuoi cimentarti con la soluzione del problema "alternativo", potrebbe essere abbastanza istruttivo
\[
v = a\sqrt{\frac{q \rho_0 \left(1 + \frac{1}{e}\right)}{m \epsilon_0}} = 481.79\,m/s
\]
La domanda vera lato mio è questa: l'integrale per la variazione di energia cinetica contiene una forza dipendente dalla posizione (perché il campo elettrico all'interno della sbarretta dipende dalla posizione). Ma con Gauss hai calcolato il campo all'esterno della sbarretta: capisco bene?
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nb calcoli che temo siano sbagliati, ma la domanda che ho sollevato è ancora aperta. Risultato "sperabilmente" corretto:
\[
v = a \sqrt{\frac{2 q\rho_0}{m\epsilon_0}} \sqrt{1 + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{e}\right)\left[\ln\left(\frac{1+e}{2}\right)-1\right] } = 501.208\, m/s
\]
EDIT: ora è tutto più chiaro:
1) il tuo procedimento (e immagino anche il risultato) è corretto - ovviamente fuori dalla lastra - in particolare tra a e 3a - il campo è uniforme
2) nelle consegne, ho letto \(x_B = 0\) invece che \(x_B = a\)
morale:
1) (per me) devo andare dall'oculista - ok che ho letto il testo di sfuggita e sul telefono, ma confondere "0" con "a" ce ne vuole ...
2) se vuoi cimentarti con la soluzione del problema "alternativo", potrebbe essere abbastanza istruttivo
Cose che capitano... grazie comunque! Non capisco però perché il calcolo della velocità venga diverso da come l'avevo fatto qui
"spina3003":
$ v = sqrt(q*rho_0*2a^2/(m*epsilon_0) *(1-e^(-1)) $
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