Campo B generato di I crescente
Salve a tutti ho questo esercizio di cui ho svolto la prima parte ma non riesco a capire come fare per la seconda.
Due fili conduttori rettilinei indefiniti sono posti parallelamente a distanza $L$, in ognuno scorre, dal basso verso l'alto, la corrente $I=kt^2$. Sia posta a distanza $d$ una spira quadrata di lato $D$, complanare al piano individuato dai due fili. Trovare il verso della corrente indotta sulla spira.
Ho pensato che siccome $I$ varia verso l'alto e, dalla legge di Biot-Savart, ho che il campo di un filo è proporzionale a $1/r$, con r distanza dal filo, allora il campo totale esercitato dai due fili sulla spira non è uniforme, quindi ne posso calcolare il flusso e con la legge di Faraday posso trovare la Forza elettromotrice indotta sulla spira.
Non riesco però a capire come avere una funzione che mi descriva il campo nella regione di spazio in cui sta la spira.
La prima parte chiedeva di trovare la forza tra i due fili che, come già detto, l'ho svolta.
Due fili conduttori rettilinei indefiniti sono posti parallelamente a distanza $L$, in ognuno scorre, dal basso verso l'alto, la corrente $I=kt^2$. Sia posta a distanza $d$ una spira quadrata di lato $D$, complanare al piano individuato dai due fili. Trovare il verso della corrente indotta sulla spira.
Ho pensato che siccome $I$ varia verso l'alto e, dalla legge di Biot-Savart, ho che il campo di un filo è proporzionale a $1/r$, con r distanza dal filo, allora il campo totale esercitato dai due fili sulla spira non è uniforme, quindi ne posso calcolare il flusso e con la legge di Faraday posso trovare la Forza elettromotrice indotta sulla spira.
Non riesco però a capire come avere una funzione che mi descriva il campo nella regione di spazio in cui sta la spira.
La prima parte chiedeva di trovare la forza tra i due fili che, come già detto, l'ho svolta.
Risposte
C'è qualcosa nel testo che non mi è chiaro: da quel che ho capito la spira è posta fra i due fili alla stessa distanza $d$ dall'uno e dall'altro; tuttavia se è così e se, come scrivi tu, il verso della corrente nei due fili è il medesimo, il flusso del campo magnetico dovrebbe risultare costantemente nullo (cosa che si potrebbe vedere facilmente con un disegno).
Non è che potresti postare il testo originale?
EDIT: se la spira non si trova fra i due fili, ma a sinistra o a destra, allora il verso della corrente indotta sarà tale che, nel lato più vicino ai fili, si opporrà a quello delle correnti in essi; questo perché la corrente indotta produce sempre un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso che la genera (anche qui può essere utile un disegno).
Se vuoi proprio calcolare la f.e.m. indotta, allora dovresti ricorre agli integrali, cosa che però non mi pare richiesta dall'esercizio.
Non è che potresti postare il testo originale?
EDIT: se la spira non si trova fra i due fili, ma a sinistra o a destra, allora il verso della corrente indotta sarà tale che, nel lato più vicino ai fili, si opporrà a quello delle correnti in essi; questo perché la corrente indotta produce sempre un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso che la genera (anche qui può essere utile un disegno).
Se vuoi proprio calcolare la f.e.m. indotta, allora dovresti ricorre agli integrali, cosa che però non mi pare richiesta dall'esercizio.
Ti ringrazio per aver risposto. Posto l'immagine con tutto il testo dell'esercizio.
Per il verso della corrente ero arrivato alle tue stesse conclusioni, quindi che la corrente indotta nella spira gira con verso antiorario per contrastare la causa che l'ha generata (in questo caso la variazione di flusso di B generato dalle correnti I sui fili). Non so come calcolare però questo flusso di B.
Per il verso della corrente ero arrivato alle tue stesse conclusioni, quindi che la corrente indotta nella spira gira con verso antiorario per contrastare la causa che l'ha generata (in questo caso la variazione di flusso di B generato dalle correnti I sui fili). Non so come calcolare però questo flusso di B.
Per trovare il flusso io tratterei i due fili separamente, così da sommare i loro contributi al campo magnetico alla fine. Intanto, per ciascuno dei due fili, possiamo scrivere questo:
$ d\Phi(\vec{B})(t) = B(t,r)dA $
$ d\Phi(\vec{B})(t) = I(t)\mu_0/(2\pir)Ddr $
Per il filo più vicino, il flusso sarà:
$ \Phi(\vec{B})_1(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\int_{d}^{d+D}(dr)/r $
$ \Phi(\vec{B})_1(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln((d+D)/d) $
Per l'altro, invece:
$ \Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\int_{L+d}^{L+d+D}(dr)/r $
$ \Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln((L+d+D)/(L+d)) $
A questo punto, per trovare il flusso totale, dobbiamo sommare i due valori:
$ \Phi(\vec{B})(t) = \Phi(\vec{B})_1(t)+\Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
$ \Phi(\vec{B})(t) = kt^2\mu_0/(2\pi)D\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
Noi sappiamo che la forza elettromotrice indotta non è altro che l'opposto della derivata del flusso, dunque:
$ \mathcal{E}(t) = -kt\mu_0/piD\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
Il risultato sembrerebbe essere questo (anche se forse sarebbe meglio aspettare qualcuno più esperto di me).
$ d\Phi(\vec{B})(t) = B(t,r)dA $
$ d\Phi(\vec{B})(t) = I(t)\mu_0/(2\pir)Ddr $
Per il filo più vicino, il flusso sarà:
$ \Phi(\vec{B})_1(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\int_{d}^{d+D}(dr)/r $
$ \Phi(\vec{B})_1(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln((d+D)/d) $
Per l'altro, invece:
$ \Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\int_{L+d}^{L+d+D}(dr)/r $
$ \Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln((L+d+D)/(L+d)) $
A questo punto, per trovare il flusso totale, dobbiamo sommare i due valori:
$ \Phi(\vec{B})(t) = \Phi(\vec{B})_1(t)+\Phi(\vec{B})_2(t) = I(t)\mu_0/(2\pi)D\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
$ \Phi(\vec{B})(t) = kt^2\mu_0/(2\pi)D\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
Noi sappiamo che la forza elettromotrice indotta non è altro che l'opposto della derivata del flusso, dunque:
$ \mathcal{E}(t) = -kt\mu_0/piD\ln(((d+D)(L+d+D))/(d(L+D))) $
Il risultato sembrerebbe essere questo (anche se forse sarebbe meglio aspettare qualcuno più esperto di me).
Si è come dici tu. Ho rifatto l'esercizio con il tuo ragionamento e i risultati sono corretti. Grazie!!
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