Campo a forze centrali
Volevo chiedervi se avete dei consigli riguardo la soluzione di questo problema, e qualche aiuto per il punto 6, grazie!
Questo è il testo del problema:
Una particella di massa $m$ si muove nel piano sotto l'azione di una forza centrale attrattiva $F=-m\omega ^2 r$ con $\omega$ costante positiva. All'instante iniziale la particella si trova sull'asse $x$ nella posizione $r_0$ corrispondente a $(x_0,y_0)$ e lanciata a velocità $v_0$ facente un angolo $\alpha$ con l'asse x.
Si chiede:
1.L'equazione differenziale del moto;
2.La legge oraria della particella in funzione di $\alpha$
3.L'energia totale della particella in funzione di $m,\omega,r_0,v_0$
4.Il potenziale centrifugo
5.Il potenziale efficace
6.Le condizioni per le quali il moto è circolare uniforme e determinare l'energia totale della particella in funzione di solo $r_0$
1. $r''=-\omega^2 r /m$ e quindi $x''=-\omega^2 x /m$ e $y''=-\omega^2 y /m$
2. $x=A sin(\sqrt{\frac{\omega^2}{m} t}+ \phi_1)$ e $y=B sin(\sqrt{\frac{\omega^2}{m} t}+ \phi_2)$
Usando la formula per la conservazione dell'energia ottengo un'espressione per $A$ abbastanza complicata e mi viene il dubbio che sia corretta: $A=\sqrt{r_0^2+\frac m {\omega^2} (v_0 cos\alpha)^2}$
3. L'energia totale dovrebbe essere $E=1/2mv_0^2-1/2m\omega^2r_0^2$ (come se si trattasse di una molla di costante $k=m\omega^2$)
4. Questo dovrebbe essere $P_{centr}=1/2 m r^2(\theta')^2=1/2\frac{L^2}{mr^2}$ dove $\theta$ è l'angolo formato da $r$ e l'asse x e $L$ è il momento angolare.
5. $P.E.=P_{centr}+1/2 (m\omega^2)r^2$
6. L'unica idea che mi è venuta è imporre $E=P.E.$
Questo è il testo del problema:
Una particella di massa $m$ si muove nel piano sotto l'azione di una forza centrale attrattiva $F=-m\omega ^2 r$ con $\omega$ costante positiva. All'instante iniziale la particella si trova sull'asse $x$ nella posizione $r_0$ corrispondente a $(x_0,y_0)$ e lanciata a velocità $v_0$ facente un angolo $\alpha$ con l'asse x.
Si chiede:
1.L'equazione differenziale del moto;
2.La legge oraria della particella in funzione di $\alpha$
3.L'energia totale della particella in funzione di $m,\omega,r_0,v_0$
4.Il potenziale centrifugo
5.Il potenziale efficace
6.Le condizioni per le quali il moto è circolare uniforme e determinare l'energia totale della particella in funzione di solo $r_0$
1. $r''=-\omega^2 r /m$ e quindi $x''=-\omega^2 x /m$ e $y''=-\omega^2 y /m$
2. $x=A sin(\sqrt{\frac{\omega^2}{m} t}+ \phi_1)$ e $y=B sin(\sqrt{\frac{\omega^2}{m} t}+ \phi_2)$
Usando la formula per la conservazione dell'energia ottengo un'espressione per $A$ abbastanza complicata e mi viene il dubbio che sia corretta: $A=\sqrt{r_0^2+\frac m {\omega^2} (v_0 cos\alpha)^2}$
3. L'energia totale dovrebbe essere $E=1/2mv_0^2-1/2m\omega^2r_0^2$ (come se si trattasse di una molla di costante $k=m\omega^2$)
4. Questo dovrebbe essere $P_{centr}=1/2 m r^2(\theta')^2=1/2\frac{L^2}{mr^2}$ dove $\theta$ è l'angolo formato da $r$ e l'asse x e $L$ è il momento angolare.
5. $P.E.=P_{centr}+1/2 (m\omega^2)r^2$
6. L'unica idea che mi è venuta è imporre $E=P.E.$
Risposte
1) Non credo che il fratto m ci sia. Le unità non tornano.
2) rivedila alla luce della 1). Comunque hai messo il t sotto radice, presumo sia un errore di battitura. Per l'asse x hai:
$A \omega cos \phi_1 = v_{0x} = v_0 cos \alpha$
e
$A sin \phi_1 = x_0$
Hai dunque due espressioni per A, le eguagli e trovi $\phi_1$, dopodiché ottieni finalmente A. Uguale fai per l'asse y, $\phi_2$, B.
Scritte esplicitamente, le espressioni per A e B dovrebbero essere un casino, ma se le scrivi in termini delle fasi iniziali, e scrivi le fasi a loro volta come la loro tangente in termini delle condizioni iniziali, dovrebbe venire abbastanza elegante.
3) credo ci vada un segno più là in mezzo
4) ok
5) mi pare ok
6) devi avere $\frac{v_0^2}{r_0} = - \omega^2 r_0$, e $\vec{v} \bot \vec{r}$
2) rivedila alla luce della 1). Comunque hai messo il t sotto radice, presumo sia un errore di battitura. Per l'asse x hai:
$A \omega cos \phi_1 = v_{0x} = v_0 cos \alpha$
e
$A sin \phi_1 = x_0$
Hai dunque due espressioni per A, le eguagli e trovi $\phi_1$, dopodiché ottieni finalmente A. Uguale fai per l'asse y, $\phi_2$, B.
Scritte esplicitamente, le espressioni per A e B dovrebbero essere un casino, ma se le scrivi in termini delle fasi iniziali, e scrivi le fasi a loro volta come la loro tangente in termini delle condizioni iniziali, dovrebbe venire abbastanza elegante.
3) credo ci vada un segno più là in mezzo
4) ok
5) mi pare ok
6) devi avere $\frac{v_0^2}{r_0} = - \omega^2 r_0$, e $\vec{v} \bot \vec{r}$
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