Campi gravitazionali
Devo risolvere il seguente problema.
Un protone e due elettroni si trovino rispettivamente nell'origine di una terna cartesiana $xyz$ e nel punto dell'ascissa di coordinata $x=x_0$. Esiste un punto dell'asse $x$ nel quale il campo gravitazionale si annulla e, se sì, dove? Esistono altri punti nello spazio nei quali il campo si annulla? Rappresentare graficamente la situazione nel piano $xy$.
Cominciamo con il caso unidimensionale. Sulla retta orientata, fissiamo l'origine in corrispondenza del protone e il punto $x_0$ in corrispondenza dei due elettroni. Per la definizione di campo gravitazionale, ci aspettiamo che il punto da cercare sia compreso tra 0 e $x_0$. In questo punto deve valere che $G*m_p/r_1^2-G*(2m_e)/r_2^2=0$ (dove $m_e$ e $m_p$ sono le masse dell'elettrone e del protone e $r_1$ e $r_2$ sono le distanze dal protone e dagli elettroni). Chiaramente vale anche che $r_1+r_2=x_0$. Risolvendo, ottengo $r_2=(A*x_0)/(1+A)$, dove $A$ è $sqrt((2m_e)/m_p)$.
Nello spazio i punti in cui il campo gravitazionale si annulla formano una sfera di raggio $r_2$ e centro $x_0$.
Attendo con ansia il vostro responso
Un protone e due elettroni si trovino rispettivamente nell'origine di una terna cartesiana $xyz$ e nel punto dell'ascissa di coordinata $x=x_0$. Esiste un punto dell'asse $x$ nel quale il campo gravitazionale si annulla e, se sì, dove? Esistono altri punti nello spazio nei quali il campo si annulla? Rappresentare graficamente la situazione nel piano $xy$.
Cominciamo con il caso unidimensionale. Sulla retta orientata, fissiamo l'origine in corrispondenza del protone e il punto $x_0$ in corrispondenza dei due elettroni. Per la definizione di campo gravitazionale, ci aspettiamo che il punto da cercare sia compreso tra 0 e $x_0$. In questo punto deve valere che $G*m_p/r_1^2-G*(2m_e)/r_2^2=0$ (dove $m_e$ e $m_p$ sono le masse dell'elettrone e del protone e $r_1$ e $r_2$ sono le distanze dal protone e dagli elettroni). Chiaramente vale anche che $r_1+r_2=x_0$. Risolvendo, ottengo $r_2=(A*x_0)/(1+A)$, dove $A$ è $sqrt((2m_e)/m_p)$.
Nello spazio i punti in cui il campo gravitazionale si annulla formano una sfera di raggio $r_2$ e centro $x_0$.
Attendo con ansia il vostro responso
Risposte
"matths87":
Devo risolvere il seguente problema.
Un protone e due elettroni si trovino rispettivamente nell'origine di una terna cartesiana $xyz$ e nel punto dell'ascissa di coordinata $x=x_0$.
Vuoi dire che la posizione dei due elettroni coincide? Se si, cosa direbbe Pauli?
Direbbe che due elettroni non possono condividere la stessa posizione...
Allora come interpretare il testo del problema?
Allora come interpretare il testo del problema?
good question!
Proviamo a modificare il problema: immaginiamo di avere un protone nell'origine e un solo elettrone nel punto dell'ascissa di coordinata $x=x_0$ (di massa rispettivamente $m_p$ e $m_e$). Allora il mio ragionamento di prima, nel caso unidimensionale, dovrebbe essere corretto, osservando che ora $A=sqrt(m_e/m_p)$.
Ora il problema chiede di estendere il risultato trovato allo spazio. Il mio ragionamento di prima sulla sfera è palesemente sbagliato. Qualche suggerimento?
Ora il problema chiede di estendere il risultato trovato allo spazio. Il mio ragionamento di prima sulla sfera è palesemente sbagliato. Qualche suggerimento?
scrivi i 2 campi gravitazionali nello spazio (tieni conto che gli errequadri al denominatore sono 2 moduli di 2 vettori tridimensionali) e li uguagli.
Innanzitutto grazie a tutti per l'aiuto.
Gicor86 mi ha suggerito di impostare un'uguaglianza, ma io non riesco a vederla. Ho sviluppato un ragionamento un po' lungo da spiegare, secondo cui non esistono altri punti in cui il campo gravitazionale si annulla. Qualcuno di voi potrebbe scrivermi per esteso la suddetta uguaglianza?
Gicor86 mi ha suggerito di impostare un'uguaglianza, ma io non riesco a vederla. Ho sviluppato un ragionamento un po' lungo da spiegare, secondo cui non esistono altri punti in cui il campo gravitazionale si annulla. Qualcuno di voi potrebbe scrivermi per esteso la suddetta uguaglianza?
mhh riflettendoci un po' in effetti hai ragione te, che errore 
se tu fai quello che dico io, trovi solo il luogo dei punti dove i campi hanno lo stesso modulo. ma per annullare il campo deve anche succedere che in un punto i 2 vettori abbiano stessa direzione, modulo e verso opposto. l'unica zona in cui la direzione è la stessa è l'asse x. l'unica zona dove i versi sono opposti è quella compresa fra le 2 cariche, l'unica dove i moduli sono uguali l'hai già trovata.
se tu fai quello che dico io, trovi solo il luogo dei punti dove i campi hanno lo stesso modulo. ma per annullare il campo deve anche succedere che in un punto i 2 vettori abbiano stessa direzione, modulo e verso opposto. l'unica zona in cui la direzione è la stessa è l'asse x. l'unica zona dove i versi sono opposti è quella compresa fra le 2 cariche, l'unica dove i moduli sono uguali l'hai già trovata.
Allora, deve valere che:
$G*m_p/r_1^2-G*m_e/r_2^2=0$
Dato che siamo nello spazio e $x_0$ appartiene all'asse $x$, abbiamo che $r_1^2=x^2+y^2+z^2$ e $r_2^2=(x-x_0)^2+y^2+z^2$, dove $(x,y,z)$ sono le coordinate di un generico punto in $RR^3$.
Risolvendo, si ricava $x^2+y^2+z^2=m_p/m_e*[(x-x_0)^2+y^2+z^2]$.
Ora, non avendo fatto Geometria 3, non so cosa rappresenti la curva che ho trovato. Spero che qualcuno di voi mi sappia aiutare, indicandomi eventuali errori di calcolo e/o ragionamento.
$G*m_p/r_1^2-G*m_e/r_2^2=0$
Dato che siamo nello spazio e $x_0$ appartiene all'asse $x$, abbiamo che $r_1^2=x^2+y^2+z^2$ e $r_2^2=(x-x_0)^2+y^2+z^2$, dove $(x,y,z)$ sono le coordinate di un generico punto in $RR^3$.
Risolvendo, si ricava $x^2+y^2+z^2=m_p/m_e*[(x-x_0)^2+y^2+z^2]$.
Ora, non avendo fatto Geometria 3, non so cosa rappresenti la curva che ho trovato. Spero che qualcuno di voi mi sappia aiutare, indicandomi eventuali errori di calcolo e/o ragionamento.
"giacor86":
mhh riflettendoci un po' in effetti hai ragione te, che errore
concordo
Mi sembrava che questo problema stava diventando troppo contorto 
Grazie a tutti per l'aiuto
Grazie a tutti per l'aiuto
dunque, dunque ......
mi sembra di aver capito che il problema è ridotto al campo gravitazionale generato da un protone posto nell'origine e da un elettrone posto nel punto $(x_0,0,0)$ e si vuole sapere il luogo dei punti in cui tale campo è nullo.
Confermo che il luogo è il singolo punto di coordinate
$(x_0/(1+\sqrt(m_e/m_p)),0,0)$ ovvero circa $(0.977x_0,0,0)$
in ogni altro punto dello spazio il campo è diverso da zero.
ciao
mi sembra di aver capito che il problema è ridotto al campo gravitazionale generato da un protone posto nell'origine e da un elettrone posto nel punto $(x_0,0,0)$ e si vuole sapere il luogo dei punti in cui tale campo è nullo.
Confermo che il luogo è il singolo punto di coordinate
$(x_0/(1+\sqrt(m_e/m_p)),0,0)$ ovvero circa $(0.977x_0,0,0)$
in ogni altro punto dello spazio il campo è diverso da zero.
ciao
Grazie mille per l'aiuto 
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