Campi generati da sorgenti puntiformi con flusso indipendente dalla direzione

[procellaria]

Buongiorno,

se si ha una sorgente puntiforme di un campo il cui flusso gode di simmetria radiale, quindi la densità delle linee di flusso si distribuisce in modo uniforme allontanandosi dalla sorgente (come succede per il campo gravitazionale o elettrostatico), come posso definire questo campo in termini rigorosi per distinguerlo da un campo che invece non gode di questa proprietà, ma invece ha densità delle linee di flusso che dipende non solo dalla distanza rispetto alla sorgente ma anche dalla direzione? Posso dire che il primo è un campo conservativo mentre il secondo no? Che il primo è irrotazionale e il secondo no? C'è dell'altro?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Ciao, probabilmente la definizione che cerchi è: "Campo centrale a simmetria radiale (o sferica)"
Un campo vettoriale di questo tipo risulta automaticamente conservativo (ma non vale in generale il viceversa)

Ulteriori informazioni: https://it.m.wikipedia.org/wiki/Forza_centrale

EDIT: Ho eliminato una precisazione inutile

[procellaria]

Ciao, grazie per la risposta, oltre a questo non c'è qualcosa che faccia riferimento a teoremi dell'analisi vettoriale?

[Sk_Anonymous]

Mah, in realtà non c'è molto altro da dire, se il tuo obiettivo è identificare matematicamente la tipologia di campo di cui parlavi nel primo post, credo che la definizione di campo centrale sia sufficiente.
Oltretutto, il fatto che un campo centrale sia conservativo ti fornisce automaticamente vari teoremi in grado di caratterizzarlo (per esempio come gradiente di una funzione potenziale).

[procellaria]

Va bene, grazie. Mi sembra che in uno spazio n-dimensionale, un campo radiale che decada in modo proporzionale a $\frac{1}{r^{(n-1)}}$ abbia un ruolo speciale, perché in questo caso il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa che includa la sorgente del campo è uguale a una costante (legge di Gauss). Quali sono le conseguenze più importanti della validità della legge di Gauss? Se per esempio fossimo in uno spazio tridimensionale e invece di avere un campo elettrostatico o gravitazionale che non decadono come $\frac{1}{r^2}$, ma invece decadessero secondo una legge gaussiana $ e^{\frac{-r^2}{\sigma}}$, il campo sarebbe ancora conservativo in quanto sempre a simmetria radiale, ma cosa perderemmo? Ciao.

EDIT: avevo scritto erroneamente "un campo radiale che decada in modo proporzionale a $\frac{1}{r^n}$ abbia un ruolo speciale", invece di "un campo radiale che decada in modo proporzionale a $\frac{1}{r^{(n-1)}}$ abbia un ruolo speciale"

[Sk_Anonymous]

"procellaria":Mi sembra che in uno spazio n-dimensionale, un campo radiale che decada in modo proporzionale a $ \frac{1}{r^{(n-1)}} $ abbia un ruolo speciale, perché in questo caso il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa che includa la sorgente del campo è uguale a una costante (legge di Gauss).

Il teorema di Gauss che conosco https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_flusso
vale solo per campi che vanno come $\frac{1}{r^2}$

"procellaria":Quali sono le conseguenze più importanti della validità della legge di Gauss?

Di fatto il teorema di Gauss è un importante strumento di calcolo, specialmente nei problemi a simmetria sferica, in cui è possibile fare in modo che un campo radiale risulti uniforme e ortogonale in ogni punto sulla superficie sferica attraverso cui si calcola il flusso, scegliendo opportunamente tale superficie.

"procellaria":Se per esempio fossimo in uno spazio tridimensionale e invece di avere un campo elettrostatico o gravitazionale che non decadono come $ \frac{1}{r^2} $, ma invece decadessero secondo una legge gaussiana $ e^{\frac{-r^2}{\sigma}} $, il campo sarebbe ancora conservativo in quanto sempre a simmetria radiale, ma cosa perderemmo?

Credo che perderemmo la Fisica così come la conosciamo

A parte gli scherzi, in pratica perderemmo il teorema di Gauss, oltre alle leggi di Keplero, tanto per citare i primi esempi che mi vengono in mente.
Di fatto, a livello fisico penso che sarebbe un disastro, perchè per quanto ho visto finora molti risultati sono legati al fatto che il campo dipenda dal reciproco del quadrato della distanza.

[procellaria]

Credo che il teorema di Gauss possa essere generalizzato a $n$ dimensioni, considerando che la superficie di una ipersfera è proporzionale a $r^{(n - 1)}$ e quindi in uno spazio $n$-dimensionale dovrebbe essere valido per tutti i campi che decadono come $\frac{1}{r^{(n - 1)}}$.

In termini matematici invece quali sarebbero le conseguenze di operare con un campo radiale ma che non rispetti la legge di Gauss?

[Sk_Anonymous]

Qui mi trovo impreparato
Aspettiamo un parere dai più esperti, oppure magari prova a postare la domanda in "Analisi Matematica" , credo che là sia più attinente