Campi Elettromagnetici - Onda Piana e Polarizzazione
Salve a tutti. Ho svolto il seguente esercizio, di cui non ho la soluzione. Scrivo nella speranza che qualche esperto possa darmi qualche delucidazione al riguardo e, nel caso, di correggermi.
Testo - Un'onda piana omogenea si propaga in un mezzo dielettrico privo di perdite (\(\displaystyle \epsilon_r=4 \)) in direzione \(\displaystyle \mathbf{\hat{z}} \) e trasporta una potenza per unità di superficie di \(\displaystyle 120m \text{Wm}^{-2} \). Determinare le componenti del campo elettromagnetico e la polarizzazione dell'onda sapendo che
\[\angle E_x - \angle E_y =90^{\circ} \qquad \frac{|E_x|}{|E_y|}=2\]
Svolgimento - I problemi iniziano fin da subito in quanto, per quanto mi risulta, un'onda piana è una qualsiasi soluzione dell'equazione di d'Alambert, i.e., una qualsiasi funzione della forma
\[\psi(x,t)=f(x-vt)+f (x+vt)\]
con \(\displaystyle f \) derivabile due volte rispetto lo spazio \(\displaystyle x \) e il tempo \(\displaystyle t \).
Mi sembra dunque necessario dover dare un'ipotesi sull'espressione della funzione \(\displaystyle f \). Senza troppe pretese, assumo quindi che l'onda piana propagantesi nel mezzo sia un'onda armonica. Scrivo dunque che
\[\mathbf{e}(z,t)=|E_x|\cos \left(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)+\angle E_x\right)\mathbf{\hat{x}}+|E_y|\cos \left(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)+\angle E_y\right)\mathbf{\hat{y}}\]
\[\mathbf{h}(z,t)=\frac{1}{\zeta}[(\mathbf{e}(z,t)\cdot\mathbf{\hat{y}})\mathbf{\hat{x}}+(\mathbf{e}(z,t)\cdot\mathbf{\hat{x}})\mathbf{\hat{y}}]\]
avendo inteso che
Testo - Un'onda piana omogenea si propaga in un mezzo dielettrico privo di perdite (\(\displaystyle \epsilon_r=4 \)) in direzione \(\displaystyle \mathbf{\hat{z}} \) e trasporta una potenza per unità di superficie di \(\displaystyle 120m \text{Wm}^{-2} \). Determinare le componenti del campo elettromagnetico e la polarizzazione dell'onda sapendo che
\[\angle E_x - \angle E_y =90^{\circ} \qquad \frac{|E_x|}{|E_y|}=2\]
Svolgimento - I problemi iniziano fin da subito in quanto, per quanto mi risulta, un'onda piana è una qualsiasi soluzione dell'equazione di d'Alambert, i.e., una qualsiasi funzione della forma
\[\psi(x,t)=f(x-vt)+f (x+vt)\]
con \(\displaystyle f \) derivabile due volte rispetto lo spazio \(\displaystyle x \) e il tempo \(\displaystyle t \).
Mi sembra dunque necessario dover dare un'ipotesi sull'espressione della funzione \(\displaystyle f \). Senza troppe pretese, assumo quindi che l'onda piana propagantesi nel mezzo sia un'onda armonica. Scrivo dunque che
\[\mathbf{e}(z,t)=|E_x|\cos \left(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)+\angle E_x\right)\mathbf{\hat{x}}+|E_y|\cos \left(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)+\angle E_y\right)\mathbf{\hat{y}}\]
\[\mathbf{h}(z,t)=\frac{1}{\zeta}[(\mathbf{e}(z,t)\cdot\mathbf{\hat{y}})\mathbf{\hat{x}}+(\mathbf{e}(z,t)\cdot\mathbf{\hat{x}})\mathbf{\hat{y}}]\]
avendo inteso che
[*:3pw2upi1]\(\displaystyle E_x,E_y \in \mathbb{C} \) sono rispettivamente i fasori delle componenti in direzione \(\displaystyle \mathbf{\hat{x}} \) e \(\displaystyle \mathbf{\hat{y}} \) del campo elettrico;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle \lambda \) è la lunghezza dell'onda;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle c=(\epsilon\mu)^{-1/2} \) è la velocita della luce nel mezzo in questione;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle \epsilon=\epsilon_r \epsilon_0 \) è la permettività dielettrica del mezzo (con \(\displaystyle \epsilon_0 \) permettività dielettrica del vuoto);
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle \mu \) è la permettività magnetica del mezzo, peraltro non assegnata dal testo;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle \zeta=\sqrt{\mu / \epsilon} \) è l'impedenza del mezzo.[/*:m:3pw2upi1][/list:u:3pw2upi1]
Al termine omogenea non so attribuire alcun sigìnificato, se non quello che in ogni punto di un qualsiasi piano equifase l'intensità del campo elettromagnetico è la stessa (fatto che dovrebbe essere già esplicitato dal termine piana).
Dunque, descrivendo il campo elettromagnetico nel dominio della frequenza (o meglio, dei fasori), scrivo
\[\iint_{\hat{S}} \frac{1}{2}( \mathbf{E}\times\mathbf{H}^* )\cdot \mathbf{\hat{z}}\text{ d}S =\frac{ |\mathbf{E}|^2}{2\zeta}=\frac{|E_x|^2+|E_y|^2}{2\zeta}=\frac{(2|E_y|)^2+|E_y|^2}{2\zeta}=\frac{5}{2\zeta}|E_y|^2\]
dove \(\displaystyle \hat{S} \) è una qualsiasi superficie piana di area unitaria e normale \(\displaystyle \mathbf{\hat{z}} \).
Proprio per come ho definito \(\displaystyle \hat{S} \), la precedente quantità rappresenta la densità di potenza trasportata dall'onda, quindi sussiste la seguente uguaglianza
\[\frac{5}{2\zeta}|E_y|^2=120m \text{Wm}^{-2}\]
da cui si ricava
\[|E_y|=\sqrt{120m \text{Wm}^{-2}\frac{2\zeta}{5}}\]
Per quanto riguarda la descrizione del campo elettromagnetico credo non si possa dire nient'altro in più, senza fare ipotesi sui dati mancanti, ossia:
[list=1]
[*:3pw2upi1]frequenza (o lunghezza) dell'onda;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]permeabilità magnetica del mezzo di propagazione;
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]almeno uno dei due termini di fase \(\displaystyle \angle E_x \),\(\displaystyle \angle E_y \).[/*:m:3pw2upi1][/list:o:3pw2upi1]
Per la polarizzazione, credo si possa banalmente rispondere al quesito affermando che essendo
[list=1]
[*:3pw2upi1]\(\displaystyle |E_x| \neq |E_y| \);
[/*:m:3pw2upi1][*:3pw2upi1]\(\displaystyle \angle E_x - \angle E_y=90 ^{\circ} \).[/*:m:3pw2upi1][/list:o:3pw2upi1]
l'onda è polarizzata ellitticamente.
Risposte
Carissimo Gost91, aspettando l'intervento di un esperto, idraulicamente parlando, io direi ok. 
Hai risposto a tutte le domande del problema, la permeabilità magnetica relativa è ovviamente sottintesa unitaria e quindi una volta ricavato Ey disponi anche di Ex; la lunghezza d'onda e le fasi assolute non vengono richieste e con quei dati non sarebbero ricavabili.
Saluti
Hai risposto a tutte le domande del problema, la permeabilità magnetica relativa è ovviamente sottintesa unitaria e quindi una volta ricavato Ey disponi anche di Ex; la lunghezza d'onda e le fasi assolute non vengono richieste e con quei dati non sarebbero ricavabili.
Saluti
Grazie Renzo, sempre molto gentile 
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