Cambio di coordinate in meccanica quantistica

[Dal2]

Avrei una domanda da porre riguardo agli stati in meccanica quantistica quando ci troviamo in un sistema con più dimensioni o gradi di libertà, riguardante i cambi di coordinate. Per ottenere la forma della funzione d'onda nelle nuove coordinate $ vec(varphi)_((x;y;z))=((varphi)_(1(x;y;z));(varphi)_(2(x;y;z));(varphi)_(3(x;y;z)))=(x';y';z') $ a partire da quelle cartesiane $ vec(varphi_((x';y';z'))^(-1))=((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))=(x;y;z) $ procedo nel seguente modo:
Prendo due stati generici $ | psi > $ e $ | chi > $, eseguo il prodotto
$ (< chi | psi >)=int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1) ^(z_2) chi_((x;y;z))^(**) psi_((x;y;z))dx dy dz=int_(x'_1)^(x'_2) int_(y'_1)^(y'_2) int_(z'_1) ^(z'_2) chi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1)))^(**) psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))) J_(( vec(varphi_((x';y';z'))^(-1))))dx' dy' dz' $
(eseguendo un cambio di coordinate, con J determinante del Jacobiano della trasformazione)
inoltre
$ (< chi | psi >)=int_(x'_1)^(x'_2) int_(y'_1)^(y'_2) int_(z'_1) ^(z'_2) tilde(chi_((x';y';z'))^(**)) tilde(psi_((x';y';z'))) dx' dy' dz' $
sviluppando direttamente nelle nuove coordinate.
Ora eguaglio i due integrali e dico che devono essere uguali anche gli integrandi (dal momento che l'uguaglianza degli integrali vale per ogni $ | psi > $ e $ | chi > $; in realtà questo passaggio non so bene come giustificarlo).Quindi, dopo aver ottenuto
$ tilde(chi_((x';y';z'))^(**)) tilde(psi_((x';y';z')))=chi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1)))^(**) psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))) J_(( vec(varphi_((x';y';z'))^(-1)))) $,
a questo punto non so più come ricavare altre informazioni su $ tilde(psi_((x';y';z'))) $ da questa formula.
Ho provato però anche a sostituire lo stato generico $ | chi > $ con una base delle posizioni $ | p;q;r > $, quindi la funzione $ chi_((x;y;z))^(**)= delta_((vec(x)-vec(p))) ^3$ all'interno dell'integrale; nell'integrale avevamo poi eseguito un cambio di variabili e la delta di dirac, sotto cambio di variabili, dovrebbe trasformarsi nel seguente modo: $ delta_((vec(x)-vec(p)))|_((((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))=(x;y;z)))=(1/J)delta_((x'_((p;q;r))-x')) delta_((y'_((p;q;r))-y')) delta_((z'_((p;q;r))-z'))$, dove J è il determinante della trasformazione: $ J_(( vec(varphi_((x';y';z'))^(-1)))) $ (non sono sicuro che la delta si trasformi in questo modo).
Comunque da queste considerazioni ottengo
$ (< p;q;r | psi >)=int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1) ^(z_2) delta_((vec(x)-vec(p))) psi_((x;y;z))dx dy dz=int_(x'_1)^(x'_2) int_(y'_1)^(y'_2) int_(z'_1) ^(z'_2) (1/ J_(( vec(varphi_((x';y';z'))^(-1)))))delta_((x'_((p;q;r))-x')) delta_((y'_((p;q;r))-y')) delta_((z'_((p;q;r))-z')) psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))) J_(( vec(varphi_((x';y';z'))^(-1))))dx' dy' dz'= int_(x'_1)^(x'_2) int_(y'_1)^(y'_2) int_(z'_1) ^(z'_2) delta_((x'_((p;q;r))-x')) delta_((y'_((p;q;r))-y')) delta_((z'_((p;q;r))-z')) psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1)))dx' dy' dz' $.
Poi sviluppo $ < p;q;r | psi > $ sulla nuova base, ottenendo $ (< p;q;r | psi >) =int_(x'_1)^(x'_2) int_(y'_1)^(y'_2) int_(z'_1) ^(z'_2) < p;q;r |x';y';z'> tilde(psi_((x';y';z'))) dx' dy' dz' $ e nuovamente dall'uguaglianza integrale credo si ottenga l'uguaglianza degli integrandi, cioè $< p;q;r |x';y';z'> tilde(psi_((x';y';z'))) = delta_((x'_((p;q;r))-x')) delta_((y'_((p;q;r))-y')) delta_((z'_((p;q;r))-z')) psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1)))$, da cui (non so come) vorrei ottenere queste uguaglianze:
$(< p;q;r |x';y';z'>)=delta_((x'_((p;q;r))-x')) delta_((y'_((p;q;r))-y')) delta_((z'_((p;q;r))-z'))$ ;
$tilde(psi_((x';y';z')))= psi_(((varphi)_(1(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(2(x';y';z'))^(-1);(varphi)_(3(x';y';z'))^(-1))) $.
Qualcuno riesce a confermarmi che sono corrette e dirmi anche come ottenerle dall'ultima uguaglianza?

[Sk_Anonymous]

Che macello immondo...ma da che testo l'hai presa sta roba? Mi chiedo veramente che senso abbia una dimostrazione così generale quando i cambi di rappresentazione che si fanno sono praticamente sempre gli stessi. Comunque, vorrei provare a capire la situazione se non altro per autolesionismo. Anzitutto quelle funzioni d'onda con la tilde che rappresentano? Le hai solo indicate così o è un richiamo alla trasformata? La delta sì va bene trasformata in quel modo, il cambio di variabili è sempre quello quindi lo jacobiano non cambia. Comunque il passaggio finale è la parte più semplice, arrivato a quel punto avendo fissato la base come quella della posizione quel prodotto scalare non possono che essere le autofunzioni della posizione calcolate nella rappresentazione $x',y',z'$. Ciò che resta è la funzione con la tilde.

[Dal2]

Non l'ho trovata su un testo, l'abbiamo vista ad un'esercitazione ma solo per la trasformazione da coordinate cartesiane a quelle del baricentro... comunque la tilde è stata messa solo per differenziare la funzione $ psi $ delle coordinate cartesiane e quella composta col cambio di coordinate. Insomma la sostanza è che è sufficiente eseguire il cambio di coordinate partendo dalla funzione d'onda in coordinate cartesiane. Solitamente eseguiamo i cambi sugli operatori, per questo è un argomento che non conosco bene.

[Sk_Anonymous]

Ok allora se la Tilde non nasconde nient'altro direi che fila il ragionamento e la conclusione riguarda come ho detto la definizione stessa di funzione d'onda, avendo fissato la base.