Cambio di base della velocità angolare

[Summerwind78]

Ciao a tutti

mi trovo a dover fare un esercizio nel quale mi sono un po' bloccato

ho un punto $P$ la cui posizione è rappresentata in coordinate sferiche in un sistema di riferimento $K$ (di cui non mi da alcuna informazione).
Questo punto ha velocità angolare $\omega$

il testo mi da però i versori si un secondo sistema di riferimento $K'$ e mi dice di ricavare la velocità angolare del punto rispetto a $K'$

Il sistema di riferimento $K'$ è:

$e_{1}'=( ( cos\alpha cos\beta ),( cos \alpha sin \beta ),( -sin \alpha ) ); e_{2}'=( ( -sin\beta ),( cos \beta ),( 0 ) ); e_{3}'=( ( sin\alpha cos\beta ),( sin \alpha sin \beta ),( cos \alpha ) );$

Il sistema $K'$ ruota sulla superficie della sfera individuata dal punto $P$

Io ho pensato che essendo la velocità angolare una derivata di una angolo fatta rispetto al tempo, io possa ricavare la velocità angolare rispetto a $K'$ usando la regola di cambio di base per le derivate secondo cui:

$\frac{d}{dt} vec(u)=\frac{d}{dt} vec(u') + \omega \times vec(u')$

nota: con $vec(u')$ intendo il vettore espresso nel sistema di coordinate $K'$

Sto facendo un po' di prove ma non giungo ad alcun risultato sensato.

Qualche suggerimento?

[sonoqui_1]

C'è un errore di concetto, che sta nel fatto che di un punto non si definisce la velocità angolare. Perlomeno devono essere dati due punti, mettiamo che mantengano anche una distanza costante, per poter definire una velocità angolare del segmento che li congiunge o del sistema di riferimento solidale al segmento rispetto ad un sistema di riferimento fisso.
Se il segmento varia anche d lunghezza la trasformazione può essere sempre scomposta in una rotazione e una deformazione, sommate ad una eventuale traslazione del centro del sistema di riferimento.
La formula che hai riportato riguardo al calcolo della derivata delle componenti di un vettore posizione espresso in differenti sistemi di riferimento è giusta, ma tieni conto che per i motivi già riportati $omega$ presente nell'espressione non ha a che vedere con il punto ma è la velocità angolare del sistema di riferimento considerato come mobile rispetto al sistema di riferimento considerato come fisso. Nel tuo caso comunque vengono date le espressioni dei versori di un sistema di riferimento nell'altro sistema, quindi puoi ricavarti la velocità angolare utilizzando la formula di composizione dei moti, da cui si ricava che le velocità angolari, quella di un terzo sistema di riferimento rispetto al sistema di riferimento mobile e quella del sistema di riferimento mobile rispetto al sistema di riferimento fisso, si sommano vettorialmente nel determinare la velocità angolare del terzo sistema di riferimento rispetto al sistema di riferimento fisso.
Tieni presente anche che nell'ottenere il risultato non si tratta solo di un cambio di base su cui proiettare le componenti di uno stesso vettore ma si tratta proprio di un vettore velocità angolare diverso.