Calore specifico variabile
Vorrei calcolare la variazione $(dQ)/(dT)$ di questo sistema che ha pressione e volume variabili. Mi aspetto quindi che anche la $(dQ)/(dT)$ sia variabile.
La situazione è questa, ho un cilindro diviso in due parti, la parte di sopra è riempita d'acqua e ha un rubinetto che permette a questa di uscire, la parte di sotto è riempita di gas monoatomico perfetto. La parte di sotto inizialmente è molto piccola. Forniamo poi calore al sistema
Indico con $A$ l'area della base de cilindro e con $h$ l'altezza
Fornendo questo calore mi aspetto che la temperatura del gas aumenti e che il pistone si sollevi, facendo uscire l'acqua fuori.
Come fare per calcolare la variazione $(dQ)/(dT)$? La pressione del gas dovrebbe essere pari inizialmente a quella che esercita la colonna d'acqua. Se poi gli forniamo un certo calore il pistone si solleverà di un piccolo tanto e uscirà fuori pochissima acqua, possiamo quindi dire che, inizialmente $(dQ)/(dT)$ sia uguale al calore specifico a pressione costante $C_p=5/2R$
Mi immagino però che il $(dQ)/(dT)$ varii via via che il sistema si evolve, si intuisce infatti che se il pistone sollevandosi di un certo tanto all'inizio non comportasse una variazione di pressione, alla fine ci sarà una variazione consistente rispetto alla quantità d'acqua.
Da qui però comincio a bloccarmi. So che $V=(h-y)A$ e $P=rho_0y$
Uso l'equazione $C_V=(dE)/(dT)$ e riscrivo il primo principio della termodinamica come $C_VdT+pdV=dQ$ e differenziando l'equazione del gas perfetto per una mole di gas $pdV+Vdp=RdT$ trovo anche $(C_V+R)dT-Vdp=dQ$
Divido per $dT$ e ho $(C_V+R)-V(dp)/(dT)=(dQ)/(dT)$ essendo $dp~~ 0$ ottengo quello che mi aspettavo.
Ma per gli istanti successivi come faccio a fare $-V(dp)/(dT)$? Usando l'equazione del gas perfetto sono daccapo e non trovo nulla...ho il sospetto di averlo impostato male.
Qualcuno vuole darmi una mano? Grazie
La situazione è questa, ho un cilindro diviso in due parti, la parte di sopra è riempita d'acqua e ha un rubinetto che permette a questa di uscire, la parte di sotto è riempita di gas monoatomico perfetto. La parte di sotto inizialmente è molto piccola. Forniamo poi calore al sistema
Indico con $A$ l'area della base de cilindro e con $h$ l'altezza
Fornendo questo calore mi aspetto che la temperatura del gas aumenti e che il pistone si sollevi, facendo uscire l'acqua fuori.
Come fare per calcolare la variazione $(dQ)/(dT)$? La pressione del gas dovrebbe essere pari inizialmente a quella che esercita la colonna d'acqua. Se poi gli forniamo un certo calore il pistone si solleverà di un piccolo tanto e uscirà fuori pochissima acqua, possiamo quindi dire che, inizialmente $(dQ)/(dT)$ sia uguale al calore specifico a pressione costante $C_p=5/2R$
Mi immagino però che il $(dQ)/(dT)$ varii via via che il sistema si evolve, si intuisce infatti che se il pistone sollevandosi di un certo tanto all'inizio non comportasse una variazione di pressione, alla fine ci sarà una variazione consistente rispetto alla quantità d'acqua.
Da qui però comincio a bloccarmi. So che $V=(h-y)A$ e $P=rho_0y$
Uso l'equazione $C_V=(dE)/(dT)$ e riscrivo il primo principio della termodinamica come $C_VdT+pdV=dQ$ e differenziando l'equazione del gas perfetto per una mole di gas $pdV+Vdp=RdT$ trovo anche $(C_V+R)dT-Vdp=dQ$
Divido per $dT$ e ho $(C_V+R)-V(dp)/(dT)=(dQ)/(dT)$ essendo $dp~~ 0$ ottengo quello che mi aspettavo.
Ma per gli istanti successivi come faccio a fare $-V(dp)/(dT)$? Usando l'equazione del gas perfetto sono daccapo e non trovo nulla...ho il sospetto di averlo impostato male.
Qualcuno vuole darmi una mano? Grazie
Risposte
$ (dQ)/(dT) $ E' VARIABILE. Indica appunto una variazione
Non ho capito benissimo che procedimento stai seguendo, ma sin dall'inizio mi pare che tu stia facendo un errore di fondo. Temperatura e pressione non vanno di pari passo. C'è anche il volume di mezzo! Ricordalo bene. Teoricamente, nei disegni che hai fatto, aumentando la temperatura, si va aumentando anche il volume. Cosa che consideri poco e male. Probabilmente l'errore principale che fai sta nel $ (h-y) $, qui le due variabili $ h $ e $ y $ cambiano a seconda di cosa ti interessa trovare. Se devi trovare la quantità di acqua che fuoriesce, devi trovare la differenza di volume di colonna d'acqua. (Se lo fai rispetto al tempo arrivi anche a che velocità fuoriesce l'acqua, molto teoricamente). Ma a te serve la variazione di calore rispetto al tempo. Il problema non ti fornisce nessun dato?
Non ho capito benissimo che procedimento stai seguendo, ma sin dall'inizio mi pare che tu stia facendo un errore di fondo. Temperatura e pressione non vanno di pari passo. C'è anche il volume di mezzo! Ricordalo bene. Teoricamente, nei disegni che hai fatto, aumentando la temperatura, si va aumentando anche il volume. Cosa che consideri poco e male. Probabilmente l'errore principale che fai sta nel $ (h-y) $, qui le due variabili $ h $ e $ y $ cambiano a seconda di cosa ti interessa trovare. Se devi trovare la quantità di acqua che fuoriesce, devi trovare la differenza di volume di colonna d'acqua. (Se lo fai rispetto al tempo arrivi anche a che velocità fuoriesce l'acqua, molto teoricamente). Ma a te serve la variazione di calore rispetto al tempo. Il problema non ti fornisce nessun dato?
Grazie della risposta.
Che $(dQ)/(dT)$ sia variabile lo so (già dal titolo...), vorrei proprio trovare in che modo varia (il fatto che indichi una variazione di per se non significa che sia variabile, potrebbe essere una variazione costante. NON E' QUESTO IL CASO).
Il problema è un problema che mi sono posto io, non ho un compito. I dati sono un certa quantità di calore $Q$ fornita, la densità dell'acqua, un gas monoatomico e l'altezza $h$ del cilindro.
Che vari il volume lo so, così come varia anche la pressione. Il problema sta proprio nell'impostare l'equazione.
Questa non la ho capita. A me interessa trovare la funzione $(dQ)/(dT)$ in funzione di $y$ ($h$ è costante, è l'altezza del cilindro). Quello che intuisco è che $(dQ)/(dT)=5/2R$ inizialmente perché la pressione si può considerare costante. Alla fine per $y=0$ la variazione di volume sarà nulla (dal rubinetto il gas non può uscire) e si avrà $(dQ)/(dT)=C_V=3/2R$. Quello che non so determinare la funzione $(dQ)/(dT)$ tra i due estremi.
Questo è quello che so:
Spero sia più chiaro quale sia il problema ora
Che $(dQ)/(dT)$ sia variabile lo so (già dal titolo...), vorrei proprio trovare in che modo varia (il fatto che indichi una variazione di per se non significa che sia variabile, potrebbe essere una variazione costante. NON E' QUESTO IL CASO).
Il problema è un problema che mi sono posto io, non ho un compito. I dati sono un certa quantità di calore $Q$ fornita, la densità dell'acqua, un gas monoatomico e l'altezza $h$ del cilindro.
Che vari il volume lo so, così come varia anche la pressione. Il problema sta proprio nell'impostare l'equazione.
qui le due variabili h e y cambiano a seconda di cosa ti interessa trovare.
Questa non la ho capita. A me interessa trovare la funzione $(dQ)/(dT)$ in funzione di $y$ ($h$ è costante, è l'altezza del cilindro). Quello che intuisco è che $(dQ)/(dT)=5/2R$ inizialmente perché la pressione si può considerare costante. Alla fine per $y=0$ la variazione di volume sarà nulla (dal rubinetto il gas non può uscire) e si avrà $(dQ)/(dT)=C_V=3/2R$. Quello che non so determinare la funzione $(dQ)/(dT)$ tra i due estremi.
Questo è quello che so:
Spero sia più chiaro quale sia il problema ora
Il calore specifico (meglio : capacità termica massica) dipende dalla trasformazione che consideri. Per un gas non esistono solo il calore specifico a pressione costante e quello a volume costante. Se disegni nel piano $p,v$ due isoterme qualsiasi a temperature $T$ e $T + dT$ (nel campo dei gas) , per andare da un punto della prima a un punto della seconda isoterma puoi seguire in teoria una trasformazione qualsiasi, di conseguenza la quantità $(dq)/(dT)$ può essere qualsiasi, anche negativo, nell'intervallo $+-\infty$ .
Io credo che la trasformazione che stai considerando, ammesso e non concesso che il gas si possa considerare perfetto, sia una trasformazione politropica , non reversibile evidentemente. Infatti non è né isoterma, né isobara, né isocora, né adiabatica.
Una politropica, supposta reversibile, è rappresentabile come :
$pv^n = "cost" $
ma l'esponenente $n$ non è noto a priori, in generale. Potrebbe assumere qualunque valore. Puoi ritrovare le isoterme, le isobare, le isocore, le adiabatiche , dando a $n$ il giusto valore.
Per definire il valore di $n$ , si devono avere a disposizione dei dati sperimentali di pressione e volume relativi alla trasformazione. Se scrivi :
$p_1v_1^n = p_2v_2^n$
e prendi i logaritmi di entrambi i membri, puoi arrivare alla fine a determinare l'esponente :
$n = (lnp_1 - lnp_2)/(lnv_2 - ln v_1)$
Se rappresenti la trasformazione in un diagramma logaritmico pressioni-volumi (cioè sulle ascisse il $lnv$ e sulle ordinate il $lnp$ ) , ottieni un segmento di retta : il valore assoluto di $n$ non è altro che il coefficiente angolare di tale retta.
Se la trasformazione non è rappresentata da un unico segmento di retta nel diagramma logaritmico, bisogna suddividerla in segmenti come possibile, calcolando in vari $n$ e facendo poi una media.
Dopo di che, determinato $n$ , si può calcolare il calore specifico della trasformazione. Se supponi che si tratti di gas perfetto e trasformazione reversibile:
$c_n = c_v (n-k)/(n-1)$
Guarda il paragrafo 10 del cap 4 di questa dispensa .
Oppure questa su Wikipedia. Oppure in un buon libro di fisica tecnica, come quello citato in Wikipedia.
Io credo che la trasformazione che stai considerando, ammesso e non concesso che il gas si possa considerare perfetto, sia una trasformazione politropica , non reversibile evidentemente. Infatti non è né isoterma, né isobara, né isocora, né adiabatica.
Una politropica, supposta reversibile, è rappresentabile come :
$pv^n = "cost" $
ma l'esponenente $n$ non è noto a priori, in generale. Potrebbe assumere qualunque valore. Puoi ritrovare le isoterme, le isobare, le isocore, le adiabatiche , dando a $n$ il giusto valore.
Per definire il valore di $n$ , si devono avere a disposizione dei dati sperimentali di pressione e volume relativi alla trasformazione. Se scrivi :
$p_1v_1^n = p_2v_2^n$
e prendi i logaritmi di entrambi i membri, puoi arrivare alla fine a determinare l'esponente :
$n = (lnp_1 - lnp_2)/(lnv_2 - ln v_1)$
Se rappresenti la trasformazione in un diagramma logaritmico pressioni-volumi (cioè sulle ascisse il $lnv$ e sulle ordinate il $lnp$ ) , ottieni un segmento di retta : il valore assoluto di $n$ non è altro che il coefficiente angolare di tale retta.
Se la trasformazione non è rappresentata da un unico segmento di retta nel diagramma logaritmico, bisogna suddividerla in segmenti come possibile, calcolando in vari $n$ e facendo poi una media.
Dopo di che, determinato $n$ , si può calcolare il calore specifico della trasformazione. Se supponi che si tratti di gas perfetto e trasformazione reversibile:
$c_n = c_v (n-k)/(n-1)$
Guarda il paragrafo 10 del cap 4 di questa dispensa .
Oppure questa su Wikipedia. Oppure in un buon libro di fisica tecnica, come quello citato in Wikipedia.
Grazie della risposta navigatore
E' proprio quello che vorrei dimostrare, perché io in realtà lo so già come varia il calore specifico. (lo so perché me lo hanno detto)
Ecco il grafico (prima cambio il significato di $y$ però)
Dovrebbe toccare ogni valore possibile (a parte quelli compresi tra $C_V$ e $C_p$.
Quindi non ho bisogno di dati sperimentali, dovrebbe essere risolvibile in maniera del tutto teorica. Solo che non so come ottenerlo. Ho anche pensato di usare il teorema del viriale ma ugualmente trovo difficoltà nell'impostare bene il problema (e poi la legge varia, all'inizio la gravità è costante poi non lo è più)
Anche l'indice politropico sono sicuro che vari...
Secondo me dovrebbe spuntare qualche equazione differenziale che dia la legge in cui varia il calore specifico con la variabile y. Ripeto questo esperimento è già stato risolto, con i risultati portati sopra, in maniera del tutto teorica.
Spero "a problema risolto" possa venire anche a te una nuova idea...io intanto continuo a pensarci.
di conseguenza la quantità dqdT può essere qualsiasi, anche negativo, nell'intervallo ±∞ .
E' proprio quello che vorrei dimostrare, perché io in realtà lo so già come varia il calore specifico. (lo so perché me lo hanno detto)
Ecco il grafico (prima cambio il significato di $y$ però)
Dovrebbe toccare ogni valore possibile (a parte quelli compresi tra $C_V$ e $C_p$.
Quindi non ho bisogno di dati sperimentali, dovrebbe essere risolvibile in maniera del tutto teorica. Solo che non so come ottenerlo. Ho anche pensato di usare il teorema del viriale ma ugualmente trovo difficoltà nell'impostare bene il problema (e poi la legge varia, all'inizio la gravità è costante poi non lo è più)
Anche l'indice politropico sono sicuro che vari...
Secondo me dovrebbe spuntare qualche equazione differenziale che dia la legge in cui varia il calore specifico con la variabile y. Ripeto questo esperimento è già stato risolto, con i risultati portati sopra, in maniera del tutto teorica.
Spero "a problema risolto" possa venire anche a te una nuova idea...io intanto continuo a pensarci.
io in realtà lo so già come varia il calore specifico. (lo so perché me lo hanno detto)
E perché non ce lo dici? Così impariamo qualche cosa di nuovo anche noi!
...dovrebbe essere risolvibile in maniera del tutto teorica. Solo che non so come ottenerlo.
Neanche io!
Ripeto questo esperimento è già stato risolto, con i risultati portati sopra, in maniera del tutto teorica.
Vedere risposta al primo punto!
Spero "a problema risolto" possa venire anche a te una nuova idea...io intanto continuo a pensarci.
Nuove idee : NN. Tu pensaci e poi facci sapere. Ciao .
"navigatore":
Spero "a problema risolto" possa venire anche a te una nuova idea...io intanto continuo a pensarci.
Nuove idee : NN. Tu pensaci e poi facci sapere. Ciao .
Nel caso riuscissi vi farò sapere senz'altro.
Ho fatto un passo avanti ma c'è ancora un errore credo
La prima legge della termodinamica
$dQ=dE+dL$
considerando che è un gas perfetto e non ha energia di interazione e considerando che è monoatomico posso scrivere
$dQ=3/2kdT+pdV$
dividendo e moltiplicando per $dT$ ottengo $dTC=3/2kdT+pdV$
Dalla legge dei gas perfetti so che $KdT=pdV+VdP$
(considero $g=1$, tanto sparisce come tutte le altre costanti)
$Vdp=Ayrhod(h-y)=-Ayrhod(y)$
$pdV=rhoA(h-y)dy$
sostituisco queste espressioni a $dT$ ed ottengo la mia equazione differenziale
$dyrhoA/K((C-3/2K)(h-2y)-hK+yK)=0$
quindi
$y=(C-3/2K)(hy-y^2)-hyK+Ky^2/2$
isolo $C$
$C=(3/2k(hy-y^2)+hyk-y^2/2k)/(hy-y^2)$
La costante di integrazione dovrebbe essere $0$ in quanto il limite di $C$ per $y$ che tendo a $0$ mi da prorpio
$C=5/2K$ che per una mole di roba fanno $5/2R$
Ora però c'è un problema, la funzione è disegnata in questo modo
Ha la discontinuità in $h$ e non in $h/2$.
Inoltre raggiunge il calore $C_V$ all'altezza $2h$, questo non mi sembra che abbia molto senso, il volume smette di crescere per $y=h$
Se sostituissi alla pressione $P=rhog(h/2-y)$ tornerebbe tutto...ipotizziamo quindi che sia questa la pressione da usare. Perché è proprio questa?
Io vedo la pressione così
appena la pressione del gas è uguale a quella dell'acqua il divisore comincia a salire, poi il volume aumenta, la pressione diminuisce, tuttavia diminuisce anche la colonna d'acqua e il divisore può continuare a salire. Ma affinché salga inizialmente deve avere la stessa pressione dell'acqua quindi $P=rhogh$ e sarebbe corretta se la funzione pressione fosse $P=rhog(h-y)|_(y=0)$ ma sbagliata per $P=rhog(h/2-y)|_(y=0)$
Mi stanno anche venendo dei dubbi se i valori del grafico corretto fossero proprio $C_V$ per $h$ e non veramente per $2h$, anche se non riesco a capire il senso se fosse vero quest'ultimo caso.
La prima legge della termodinamica
$dQ=dE+dL$
considerando che è un gas perfetto e non ha energia di interazione e considerando che è monoatomico posso scrivere
$dQ=3/2kdT+pdV$
dividendo e moltiplicando per $dT$ ottengo $dTC=3/2kdT+pdV$
Dalla legge dei gas perfetti so che $KdT=pdV+VdP$
(considero $g=1$, tanto sparisce come tutte le altre costanti)
$Vdp=Ayrhod(h-y)=-Ayrhod(y)$
$pdV=rhoA(h-y)dy$
sostituisco queste espressioni a $dT$ ed ottengo la mia equazione differenziale
$dyrhoA/K((C-3/2K)(h-2y)-hK+yK)=0$
quindi
$y=(C-3/2K)(hy-y^2)-hyK+Ky^2/2$
isolo $C$
$C=(3/2k(hy-y^2)+hyk-y^2/2k)/(hy-y^2)$
La costante di integrazione dovrebbe essere $0$ in quanto il limite di $C$ per $y$ che tendo a $0$ mi da prorpio
$C=5/2K$ che per una mole di roba fanno $5/2R$
Ora però c'è un problema, la funzione è disegnata in questo modo
Ha la discontinuità in $h$ e non in $h/2$.
Inoltre raggiunge il calore $C_V$ all'altezza $2h$, questo non mi sembra che abbia molto senso, il volume smette di crescere per $y=h$
Se sostituissi alla pressione $P=rhog(h/2-y)$ tornerebbe tutto...ipotizziamo quindi che sia questa la pressione da usare. Perché è proprio questa?
Io vedo la pressione così
appena la pressione del gas è uguale a quella dell'acqua il divisore comincia a salire, poi il volume aumenta, la pressione diminuisce, tuttavia diminuisce anche la colonna d'acqua e il divisore può continuare a salire. Ma affinché salga inizialmente deve avere la stessa pressione dell'acqua quindi $P=rhogh$ e sarebbe corretta se la funzione pressione fosse $P=rhog(h-y)|_(y=0)$ ma sbagliata per $P=rhog(h/2-y)|_(y=0)$
Mi stanno anche venendo dei dubbi se i valori del grafico corretto fossero proprio $C_V$ per $h$ e non veramente per $2h$, anche se non riesco a capire il senso se fosse vero quest'ultimo caso.
Non ho seguito molto il procedimento matematico. Però posso dirti questo : supporre che il calore specifico tenda a $+-\infty$ significa supporre che la trasformazione tende a diventare una isoterma. Infatti, per l'isoterma si ha $dT = 0 $ .
Perciò, dovresti cercare di capire se questa tendenza a diventare isoterma si manifesti ad $h/2$ anziché ad $h$ .
Ad occhio (ma l'occhio inganna) direi che dovrebbe manifestarsi ad $h/2$ , non alla fine del processo.
Perciò, dovresti cercare di capire se questa tendenza a diventare isoterma si manifesti ad $h/2$ anziché ad $h$ .
Ad occhio (ma l'occhio inganna) direi che dovrebbe manifestarsi ad $h/2$ , non alla fine del processo.
Ad occhio (ma l'occhio inganna) direi che dovrebbe manifestarsi ad $h/2$ , non alla fine del processo.
Lo penso pure io (e anche nel risultato finale mi sembra fosse così) anche perché ad $h$ dovrebbe risultare una isocora. Tuttavia per ottenere questo risultato dovrei mettere che la pressione del gas segua la legge $ P=rhog(h/2-y) $, risultato che non saprei giustificare al momento
Infine ho risolto.
La pressione è effettivamente $p=grho(h-y)=KT/V=KT/(Ay)$
Da questa equazione posso trovare la derivata $(dT)/(dy)$
$(dT)/(dy)=Agrho(h-2y)/K$
Ora usando la prima legge della termodinamica scrivo
$(dQ)/(dT)=C=3/2K+rhog(dy)/dt$
sostituendo trovo
$C=3/2K+K(h-y)/(h-2y)$
che è proprio la funzione che cercavo.
Questo nel caso di pressione atmosferica nulla.
Non so cosa sbagliassi prima ma questo è giusto. Ora sembra un problema banalissimo
La pressione è effettivamente $p=grho(h-y)=KT/V=KT/(Ay)$
Da questa equazione posso trovare la derivata $(dT)/(dy)$
$(dT)/(dy)=Agrho(h-2y)/K$
Ora usando la prima legge della termodinamica scrivo
$(dQ)/(dT)=C=3/2K+rhog(dy)/dt$
sostituendo trovo
$C=3/2K+K(h-y)/(h-2y)$
che è proprio la funzione che cercavo.
Questo nel caso di pressione atmosferica nulla.
Non so cosa sbagliassi prima ma questo è giusto. Ora sembra un problema banalissimo
Ok, mi fa piacere che tu sia arrivato in fondo. 
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