Calore disperso da un manicotto
Salve,
chiedo soccorso per il seguenta problema.
Un manicotto cilindrico omogeneo con conducibilità termica k, lungheza L e raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$, è sigillato alle estremità con materiale adiabatico. La temperatura della superficie interna viene mantenuta costante a $T_1$ da una resistenza elettrica che sviluppa una potenza W. Ad un certo istante viene immerso in una bacinella contenente una massa m di acqua a temperatura $T_0$. Si calcoli il tempo necessario perchè l'acqua si porti alla temperatura T.
Questo esercizio segue il seguente (non so se è importante per la soluzione)
Mio tentativo:
Se teniamo conto che il calore del corpo fluisce nel tempo dt con la legge
$(dQ)/dt = k S (T_e - T_i) /d$ dove $T_e e T_i$ sono la temp esterna ed interna al manicotto
sembrerebbe facile scrivere che questo calore uguagli il calore necessario per scaldare da $T_0$ a T l'acqua:
$ dQ=m c dT$ ma non è così...
la soluzione dovrebbe essere
$t=((mc)/(2pikL))ln(R_2/R_1) ln((T_1-T_0)/(T_1-T))$
chiedo soccorso per il seguenta problema.
Un manicotto cilindrico omogeneo con conducibilità termica k, lungheza L e raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$, è sigillato alle estremità con materiale adiabatico. La temperatura della superficie interna viene mantenuta costante a $T_1$ da una resistenza elettrica che sviluppa una potenza W. Ad un certo istante viene immerso in una bacinella contenente una massa m di acqua a temperatura $T_0$. Si calcoli il tempo necessario perchè l'acqua si porti alla temperatura T.
Questo esercizio segue il seguente (non so se è importante per la soluzione)
Mio tentativo:
Se teniamo conto che il calore del corpo fluisce nel tempo dt con la legge
$(dQ)/dt = k S (T_e - T_i) /d$ dove $T_e e T_i$ sono la temp esterna ed interna al manicotto
sembrerebbe facile scrivere che questo calore uguagli il calore necessario per scaldare da $T_0$ a T l'acqua:
$ dQ=m c dT$ ma non è così...
la soluzione dovrebbe essere
$t=((mc)/(2pikL))ln(R_2/R_1) ln((T_1-T_0)/(T_1-T))$
Risposte
Prova a risolverlo come fosse un circuito elettrico con una resistenza in serie a un condensatore. Applicando l'analogia Q=carica e T= potenziale, l'acqua è come un condensatore, e quanto al resistore (manicotto) calcola la resistenza radiale di un corpo cilindrico cavo.
Ecco la mia soluzione...
Va bene.
Ad ogni modo visto che il calcolo l'ho fatto vorrei postare la soluzione usando l'analogia elettrica.
Le analogie riguardano le seguenti grandezze:
termica<=>elettrica
Q <=> Q
w <=> dQ/dt = I
T <=> V
mc <=> C
Definiamo dunque la resistenza termica del manicotto:
$${R_t} = - \frac{{\Delta {T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}}$$
Il calcolo avviene pensando il manicotto formato da strati elementari, ciascuno avente resistenza elementare
$$d{R_t} = - \frac{{d{T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}} = \frac{{dr}}
{{kS}} = \frac{{dr}}
{{2\pi kLr}}$$
dove dr rappresenta lo spessore infinitesimo in termini di incremento di raggio.
La resistenza totale del manicotto è dunque:
$${R_t} = - \frac{{\Delta {T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}} = \frac{1}
{{2\pi kL}}\int_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{dr}}
{r} = } \frac{1}
{{2\pi kL}}\ln \frac{{{r_2}}}
{{{r_1}}}$$
Considero adesso un circuito elettrico costituito da un generatore di tensione, una resistenza e un condensatore in serie.
Il problema chiede di calcolare la tensione ai capi del condensatore nel tempo, partendo da una carica iniziale sul condensatore che gli conferisce una tensione iniziale non nulla.
E' facile vedere che la soluzione è la seguente:
$${V_c}(t) = {V_{c0}} + \left( {E - {V_{c0}}} \right)\left( {1 - {e^{ - \frac{t}
{{RC}}}}} \right)$$
Sfruttando le analogie riscrivo la soluzione in termini di calore:
$${T_{acqua}}(t) = {T_0} + \left( {{T_1} - {T_0}} \right)\left( {1 - {e^{ - \frac{t}
{{{R_t}mc}}}}} \right)$$
e quindi invertendo la relazione esplicito il tempo:
$$t = mc{R_t}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}(t)}}$$
che è la soluzione cercata, nella quale basta sostituire la resistenza termica col valore calcolato sopra.
Il metodo è generale e permette di calcolare circuiti termici anche complessi sfruttando le soluzioni offerte dall'elettrotecnica.
Ad ogni modo anche se uno non conoscesse l'elettrotecnica il concetto di resistenza termica è comunque utile perché permette di calcolare resistenze totali in termini di somma di elementi in serie.
Partendo dunque da lì, posto i passaggi utili a chi non conoscesse l'elettrotecnica.
Riscrivo la relazione della resistenza in questo modo:
$$\eqalign{
& {R_t}dQ = - \Delta {T_{man}}dt \cr
& dt = - {R_t}\frac{{dQ}}
{{\Delta {T_{man}}}} \cr} $$
Scrivo la relazione dell'acqua:
$$dQ = mcd{T_{acqua}}$$
Sostituisco e integro:
$$\eqalign{
& dt = mc{R_t}\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{ - \Delta {T_{man}}}} = mc{R_t}\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} \cr
& t = mc{R_t}\int_{{T_0}}^{{T_{acqua}}} {\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}}} = mc{R_t}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} = \frac{{mc}}
{{2\pi kL}}\ln \frac{{{r_2}}}
{{{r_1}}}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} \cr} $$
Ad ogni modo visto che il calcolo l'ho fatto vorrei postare la soluzione usando l'analogia elettrica.
Le analogie riguardano le seguenti grandezze:
termica<=>elettrica
Q <=> Q
w <=> dQ/dt = I
T <=> V
mc <=> C
Definiamo dunque la resistenza termica del manicotto:
$${R_t} = - \frac{{\Delta {T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}}$$
Il calcolo avviene pensando il manicotto formato da strati elementari, ciascuno avente resistenza elementare
$$d{R_t} = - \frac{{d{T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}} = \frac{{dr}}
{{kS}} = \frac{{dr}}
{{2\pi kLr}}$$
dove dr rappresenta lo spessore infinitesimo in termini di incremento di raggio.
La resistenza totale del manicotto è dunque:
$${R_t} = - \frac{{\Delta {T_{man}}}}
{{\frac{{dQ}}
{{dt}}}} = \frac{1}
{{2\pi kL}}\int_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{dr}}
{r} = } \frac{1}
{{2\pi kL}}\ln \frac{{{r_2}}}
{{{r_1}}}$$
Considero adesso un circuito elettrico costituito da un generatore di tensione, una resistenza e un condensatore in serie.
Il problema chiede di calcolare la tensione ai capi del condensatore nel tempo, partendo da una carica iniziale sul condensatore che gli conferisce una tensione iniziale non nulla.
E' facile vedere che la soluzione è la seguente:
$${V_c}(t) = {V_{c0}} + \left( {E - {V_{c0}}} \right)\left( {1 - {e^{ - \frac{t}
{{RC}}}}} \right)$$
Sfruttando le analogie riscrivo la soluzione in termini di calore:
$${T_{acqua}}(t) = {T_0} + \left( {{T_1} - {T_0}} \right)\left( {1 - {e^{ - \frac{t}
{{{R_t}mc}}}}} \right)$$
e quindi invertendo la relazione esplicito il tempo:
$$t = mc{R_t}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}(t)}}$$
che è la soluzione cercata, nella quale basta sostituire la resistenza termica col valore calcolato sopra.
Il metodo è generale e permette di calcolare circuiti termici anche complessi sfruttando le soluzioni offerte dall'elettrotecnica.
Ad ogni modo anche se uno non conoscesse l'elettrotecnica il concetto di resistenza termica è comunque utile perché permette di calcolare resistenze totali in termini di somma di elementi in serie.
Partendo dunque da lì, posto i passaggi utili a chi non conoscesse l'elettrotecnica.
Riscrivo la relazione della resistenza in questo modo:
$$\eqalign{
& {R_t}dQ = - \Delta {T_{man}}dt \cr
& dt = - {R_t}\frac{{dQ}}
{{\Delta {T_{man}}}} \cr} $$
Scrivo la relazione dell'acqua:
$$dQ = mcd{T_{acqua}}$$
Sostituisco e integro:
$$\eqalign{
& dt = mc{R_t}\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{ - \Delta {T_{man}}}} = mc{R_t}\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} \cr
& t = mc{R_t}\int_{{T_0}}^{{T_{acqua}}} {\frac{{d{T_{acqua}}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}}} = mc{R_t}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} = \frac{{mc}}
{{2\pi kL}}\ln \frac{{{r_2}}}
{{{r_1}}}\ln \frac{{{T_1} - {T_0}}}
{{{T_1} - {T_{acqua}}}} \cr} $$
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