Calcolo piano carichi idrostatici [Idraulica]
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio:
Noti i pesi specifici γ1=8000N/m^3 e γ2=9806N/m^3, la quota dell'interfaccia h1=1,5m, le quote h2=2m e L=3m, determinare:
1)la quota, rispetto all'interfaccia fra i due liquidi del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2.
L'immagine è la seguente, dove γ1 è il liquido di sopra, γ2 quello di sotto e h1 l'altezza di sopra e h2 l'altezza di sotto. Tralasciando L, che rappresenta una paratoia, mi interessa sapere il calolo del p.c.i. di γ2
Senza l'ausilio di un piezometro, o di un manometro, non riesco a capire come ci si possa arrivare alla determinazione del p.c.i di γ2. Il p.c.i. di γ1 corrisponde ovviamente al pelo libero.
Qualcuno mi dia delucidazioni, grazie mille!
Noti i pesi specifici γ1=8000N/m^3 e γ2=9806N/m^3, la quota dell'interfaccia h1=1,5m, le quote h2=2m e L=3m, determinare:
1)la quota, rispetto all'interfaccia fra i due liquidi del piano dei carichi idrostatici del liquido γ2.
L'immagine è la seguente, dove γ1 è il liquido di sopra, γ2 quello di sotto e h1 l'altezza di sopra e h2 l'altezza di sotto. Tralasciando L, che rappresenta una paratoia, mi interessa sapere il calolo del p.c.i. di γ2
Senza l'ausilio di un piezometro, o di un manometro, non riesco a capire come ci si possa arrivare alla determinazione del p.c.i di γ2. Il p.c.i. di γ1 corrisponde ovviamente al pelo libero.
Qualcuno mi dia delucidazioni, grazie mille!
Risposte
In un punto qualunque del piano di separazione tra i due liquidi la pressione (relativa) è determinata dal liquido 1 sovrastante : $p = \gamma_1*h_1$. Ovviamente questo punto può essere considerato appartenente anche al liquido di sotto, no? SE non ci fosse il liquido 1 di sopra, il pci del liquido 2 sarebbe proprio la superficie libera del liquido 2.
Ma c'è il liquido 1 di sopra. Quindi nel punto detto c'è un incremento di pressione pari al valore detto prima.
Allora, assumi un asse verticale per tracciare il diagramma delle pressioni relative. Per esempio il lato verticale del recipiente stesso.
Inizia dalla superficie libera del liquido 1 a tracciare il diagramma delle pressioni: disegnerai un segmento, inclinato rispetto alla verticale di un angolo $\alpha_1$ tale che : $tg\alpha_1 = \gamma_1$ ( questo lo sai, no?). Quando arrivi alla superficie di separazione tra 1 e 2 , il diagramma cambia inclinazione, assumendo una angolatura maggiore $alpha_2$ tale che : $tg\alpha_2 = \gamma_2$. E poi prosegue fino al fondo.
Se vuoi la posizione del pci del liquido 2, non devi far altro che prolungare il secondo segmento verso l'alto (fa un segmento tratteggiato...) fino ad incontrare la verticale in un certo punto $P$ : per $P$ passa il pci del liquido 2.
Ma c'è il liquido 1 di sopra. Quindi nel punto detto c'è un incremento di pressione pari al valore detto prima.
Allora, assumi un asse verticale per tracciare il diagramma delle pressioni relative. Per esempio il lato verticale del recipiente stesso.
Inizia dalla superficie libera del liquido 1 a tracciare il diagramma delle pressioni: disegnerai un segmento, inclinato rispetto alla verticale di un angolo $\alpha_1$ tale che : $tg\alpha_1 = \gamma_1$ ( questo lo sai, no?). Quando arrivi alla superficie di separazione tra 1 e 2 , il diagramma cambia inclinazione, assumendo una angolatura maggiore $alpha_2$ tale che : $tg\alpha_2 = \gamma_2$. E poi prosegue fino al fondo.
Se vuoi la posizione del pci del liquido 2, non devi far altro che prolungare il secondo segmento verso l'alto (fa un segmento tratteggiato...) fino ad incontrare la verticale in un certo punto $P$ : per $P$ passa il pci del liquido 2.
"navigatore":
In un punto qualunque del piano di separazione tra i due liquidi la pressione (relativa) è determinata dal liquido 1 sovrastante : \( p = \gamma_1*h_1 \). Ovviamente questo punto può essere considerato appartenente anche al liquido di sotto, no? SE non ci fosse il liquido 1 di sopra, il pci del liquido 2 sarebbe proprio la superficie libera del liquido 2.
Ma c'è il liquido 1 di sopra. Quindi nel punto detto c'è un incremento di pressione pari al valore detto prima.
Allora, assumi un asse verticale per tracciare il diagramma delle pressioni relative. Per esempio il lato verticale del recipiente stesso.
Inizia dalla superficie libera del liquido 1 a tracciare il diagramma delle pressioni: disegnerai un segmento, inclinato rispetto alla verticale di un angolo \( \alpha_1 \) tale che : \( tg\alpha_1 = \gamma_1 \) ( questo lo sai, no?). Quando arrivi alla superficie di separazione tra 1 e 2 , il diagramma cambia inclinazione, assumendo una angolatura maggiore \( alpha_2 \) tale che : \( tg\alpha_2 = \gamma_2 \). E poi prosegue fino al fondo.
Se vuoi la posizione del pci del liquido 2, non devi far altro che prolungare il secondo segmento verso l'alto (fa un segmento tratteggiato...) fino ad incontrare la verticale in un certo punto \( P \) : per \( P \) passa il pci del liquido 2.
Si, sapevo il fatto riguardante l'inclinazione del diagramma delle pressioni. Ma il problema è come determinare analiticamente la posizione del piano dei carichi idrostatici del liquido 2, in quanto per calcolare poi la spinta sulla paratoia AB ho bisogno di calcolare l'affondamento del baricentro rispetto al p.c.i. del liquido 2 e la stessa cosa per quanto riguarda il centro di spinta, bisogna ricondursi sempre al p.c.i. del liquido 2 che esercita la spinta sulla paratoia.
Giusto?
Mi sembrava di avertelo detto, come trovare il pci del liq 2, ma evidentemente non sono stato chiaro.
Si puo trovare in due modi.
Il primo è questo : la pressione (relativa, parliamo solo di queste) sul fondo del recipiente vale : $p_f = h_1*\gamma_1 + h_2*\gamma_2$ . L'altezza $H$ di cui il pci del liq 2 sovrasta il fondo si trova dividendo $p_f$ per il peso specifico $\gamma_2$.
Cioè, tenuto conto della espressione di $p_f$, si ha : $H = h_2 + (\gamma_1)/(gamma_2)*h_1$. ------(1)
Ovviamente è un po' più grande di $h_2$.
Secondo modo (così hai anche l'espressione analitica che cerchi).
Orienta un asse $z$ verticale verso il basso, e assumi come piano $z=0$ la superficie libera del liquido 1.
Il diagramma delle pressioni nei due liquidi è una spezzata di due tratti:
Per $0<=z<=h_1$ , si ha : $ p = \gamma_1*z $ --------(2)
PEr $h_1<=z<= h_1 + h_2 $, si a : $ p = \gamma_1h_1 + \gamma_2(z-h_1)$-------(3)
Puoi controllare da te l'esattezza delle (2) e 3), calcolando la $p$ in alcuni punti significativi, per esempio sulla superficie di separazione oppure sul fondo del serbatoio.
Per stabilire la $z$ del pci del liq 2, tieni presente questo: se non ci fosse il liq 1, il pci del liq 2 sarebbe la sua superficie libera, essendo il diagramma delle pressioni inclinato di $arctg \gamma_2$ : la presenza del liq 1 lascia invariata l'inclinazione del tratto 2 del diagramma, ma "lo sposta un po' più in fuori" , per così dire. Allora, se prendi la (3) e poni il primo membro uguale a zero, hai la $z$ del punto in cui questo diagramma "spostato" incontra l'asse verticale, dove appunto passa il pci del liq 2 nel caso in esame :
$ 0 = \gamma_1h_1 + \gamma_2(z-h_1)$-------(4)
da cui : $ z = (1- \gamma_1/gamma_2)*h_1$ -------(5)
Domanda : la (5) va d'accordo con la (1) ? Il punto deve essere lo stesso. Controlla.
Adesso hai tutti gli elementi per calcolare le pressioni sulla paratia.
Una cosa deve esserti chiara : le pressioni sulla paratia non dipendono da dove metti il piano di riferimento per le $z$ !
Le pressioni sulla paratia (diagramma trapezoidale, baricentro ,ecc. ecc.) dipendono solo dalla profondità.
Perciò il tuo problema finale si poteva risolvere anche in maniera più semplice, per esempio considerando gli affondamenti a partire dalla superficie di separazione,ma aggiungendo alle pressioni idrostatiche nel liq 2 la pressione esistente su questa superficie $\gamma_1*h_1$.
Si puo trovare in due modi.
Il primo è questo : la pressione (relativa, parliamo solo di queste) sul fondo del recipiente vale : $p_f = h_1*\gamma_1 + h_2*\gamma_2$ . L'altezza $H$ di cui il pci del liq 2 sovrasta il fondo si trova dividendo $p_f$ per il peso specifico $\gamma_2$.
Cioè, tenuto conto della espressione di $p_f$, si ha : $H = h_2 + (\gamma_1)/(gamma_2)*h_1$. ------(1)
Ovviamente è un po' più grande di $h_2$.
Secondo modo (così hai anche l'espressione analitica che cerchi).
Orienta un asse $z$ verticale verso il basso, e assumi come piano $z=0$ la superficie libera del liquido 1.
Il diagramma delle pressioni nei due liquidi è una spezzata di due tratti:
Per $0<=z<=h_1$ , si ha : $ p = \gamma_1*z $ --------(2)
PEr $h_1<=z<= h_1 + h_2 $, si a : $ p = \gamma_1h_1 + \gamma_2(z-h_1)$-------(3)
Puoi controllare da te l'esattezza delle (2) e 3), calcolando la $p$ in alcuni punti significativi, per esempio sulla superficie di separazione oppure sul fondo del serbatoio.
Per stabilire la $z$ del pci del liq 2, tieni presente questo: se non ci fosse il liq 1, il pci del liq 2 sarebbe la sua superficie libera, essendo il diagramma delle pressioni inclinato di $arctg \gamma_2$ : la presenza del liq 1 lascia invariata l'inclinazione del tratto 2 del diagramma, ma "lo sposta un po' più in fuori" , per così dire. Allora, se prendi la (3) e poni il primo membro uguale a zero, hai la $z$ del punto in cui questo diagramma "spostato" incontra l'asse verticale, dove appunto passa il pci del liq 2 nel caso in esame :
$ 0 = \gamma_1h_1 + \gamma_2(z-h_1)$-------(4)
da cui : $ z = (1- \gamma_1/gamma_2)*h_1$ -------(5)
Domanda : la (5) va d'accordo con la (1) ? Il punto deve essere lo stesso. Controlla.
Adesso hai tutti gli elementi per calcolare le pressioni sulla paratia.
Una cosa deve esserti chiara : le pressioni sulla paratia non dipendono da dove metti il piano di riferimento per le $z$ !
Le pressioni sulla paratia (diagramma trapezoidale, baricentro ,ecc. ecc.) dipendono solo dalla profondità.
Perciò il tuo problema finale si poteva risolvere anche in maniera più semplice, per esempio considerando gli affondamenti a partire dalla superficie di separazione,ma aggiungendo alle pressioni idrostatiche nel liq 2 la pressione esistente su questa superficie $\gamma_1*h_1$.
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