Calcolo Momento d'Inerzia

[Khurt]

Buongiorno,

oggi mi sono bloccato nello svolgimento di un problema. Per meglio dire, il risultato finale non mi torna e non capisco il perché.

[img]http://clip2net.com/clip/m0/1404258180-clip-6kb.jpg?nocache=1[/img]

Il poligono ABCDE `e stato ottenuto asportando il triangolo rettangolo isoscele OAE di lato ℓ dalla lamina quadrata omogenea OBCD di lato 2ℓ e massa 2m. Una seconda lamina quadrata AEFH di lato ℓ√2 e massa m/4 e saldata al poligono lungo il lato AE, come indicato in figura. Determinare il momento di inerzia della lamina complessiva rispetto ad un asse ez passante per il punto Q di incontro delle diagonali di OBCD, ortogonale al piano della figura

A me sembra un problema piuttosto facile.
Applicando la composizione:

$I_Q=I_(OBCD)+I_(HFEA)-I_(OEA)$

Dove tutti i momenti d'inerzia sono calcolati rispetto a Q.

$I_(OBCD)=1/6 2m4l^2=4/3ml^2$
$I_(HFEA)=1/6 1/4m2l^2+1/4m2l^2=7/12ml^2$

Ora iniziano i un po' di dubbi però.

Considero che il triangolino originale $AOE$ ha una massa pari ad 1/8 di quella della piastra originale, quindi la sua massa è: $1/4m$.
Calcolo $I$ rispetto ad $O$, considerandolo come $1/4$ di un quadrato posizionato come quello in figura (ma ovviamente di massa=$m$)
$I_O=1/4(1/6m2l^2)=1/12ml^2$
dopodiché applico due volte Steiner: una per spostarmi da O a G, il baricentro del triangolo $AOE$, l'altra da G a Q. Il baricentro del triangolo è a $sqrt(2)/3l$ sulla retta passante per $O$ e per $Q$, da cui possiamo trovare anche $|G-O|=2/3sqrt(2)l$.
Quindi, in definitiva:
$I_Q=1/12ml^2+1/4ml^2( -2/9+8/9)=1/4ml^2$

Sommando tutto:

$4/3+7/12-1/4=5/3ml^2$

Il risultato dovrebbe invece essere $5/4ml^2$

Dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

In casi di questo genere (problemi odiosi e inutili, che non servono a far capire niente di nuovo ma sono solo un rompicapo dal punto di vista del calcolo), io preferisco calcolare prima i momenti di inerzia di area (o di volume), e poi moltiplicare per la densità: nel tuo caso hai due densità superficiali differenti.
Il quadrato OBCD ha densità superficiale $\rho_1 = M/A = (2m)/(4l^2) = m/(2l^2) $
Il quadrato AEFH ha densità superficiale $\rho_2 = M/A = m/4*1/(2l^2) = m/(8l^2)$

1) Considero prima il poligono ABCDEA , differenza del quadrato OBCD e del triangol isoscele OAE.

Quadrato OBCD : $I_Q = (2l)^4/6 = 8/3l^4$
Triangolo OAE : il momento d'inerzia polare baricentrico, rispetto cioè al suo baricentro G, è dato da $2* l^4/(36) = l^4/(18)$.
Il baricentro di questo triangolo isoscele si trova sul segmento OQ, a distanza da O pari a $2/3$ dell'altezza relativa all'ipotenusa, cioè : $ OG = l*2/3(sqrt2)/2 = (sqrt2)/3l$ .
Quindi la distanza di G da Q vale : $GQ = OQ - OG = l(sqrt2 -(sqrt2)/3) = (2sqrt2)/3 l $ .
Il momento di inerzia del triangolo detto, rispetto a Q , vale dunque : $l^4/(18) + l^2/2*(4*2)/9l^2 = l^4/2$.

Tale momento va sottratto a quello del quadrato, per cui il m.i. di area del poligono ABCDEA rispetto a Q vale :

$8/3l^4 -l^4/2 = 13/6l^4$

Moltiplicando per la densità $\rho_1$ si ottiene perciò il momento d'inerzia di massa del poligono rispetto a Q :

$I_1 = m/(2l^2)*13/6l^4 = (13)/(12)ml^2$

2) Il quadrato AEFH ha momento polare baricentrico (il baricentro è O ) : $ I_O = (lsqrt2)^4/6 = 2/3l^4$

Essendo OQ = $lsqrt2$ , si ha : $I_Q = I_O + (lsqrt2)^4 = (14)/3l^4$ . Moltiplicando per la densità $\rho_2$ si ottiene il m.i. di massa del quadrato AEFH rispetto a Q :

$I_2 = m/(8l^2)*(14)/3l^4 = 7/(12) ml^2$

In definitiva : $ I = I_1 + I_2 = (13)/(12)ml^2 + 7/(12) ml^2 = 5/3 ml^2 $

E perciò, se non ci sono errori, hai ragione tu, e il risultato del libro è sbagliato.

[Khurt]

Ti ringrazio molto, mi hai dato una alternativa interessante.

A me i miei calcoli sembrano giusti, quindi forse per una volta posso prendermi una soddisfazione sul libro