Calcolo momento di inerzia ellisse

[cicciocur]

Calcolare il momento di inerzia di un’ellisse omogenea di massa M, semiassi a; b (a > b),
rispetto al suo asse minore.
Lo studente ricordi che l’equazione di detta ellisse (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) =1
e cons. S = pigreco ab.

il metodo più semplice è utilizzando le equaz parametriche?
ci sono altri metodi?

grazie

[antani2]

boh forse scrivendo l'ellisse nella forma f(x,y)= 0 in forma implicita, riusciresti maneggiando gradiente ecc a usare direttamente l'equazione implicita per l'integrale di superficie...ma non ne sono sicuro dovrei tirare fuori il buon Adams di analisi dalla teca di cristallo:-D

[kinder1]

"cicciocur":
il metodo più semplice è utilizzando le equaz parametriche?
ci sono altri metodi?

io sbaglio facilmente i calcoli, quindi tendo a cercare approcci che li minimizzino. Ti dico come farei io, poi giudica tu se sarebbe accettabile nel tuo ambito.

Limitiamoci a considerare solo la porzione di ellisse contenuta nel primo quadrante.
Detta $sigma=M/S=M/(piab)$ la densità di massa (per unità di superficie), consideriamo un elemento infinitesimo $dJ_y=sigma*y(x)*dx*x^2$. Già intuitivamente si capisce che se allungo o accorcio la strisciolina $ydx$ mantenendone la massa (adatto di conseguenza $sigma$), tale elemento di momento di inerzia non varia. Ma per essere certi utilizziamo l'equazione dell'ellisse. Da essa ricaviamo che $y/b=sqrt(1-x^2/(a^2))$. Sostituendo questa e $sigma$ nell'espressione trovata per $dJ_y$ otteniamo: $dJ_y=sigma*y(x)*dx*x^2=M/(pia)sqrt(1-x^2/(a^2))*x^2*dx$. La cosa interessante di questa espressione è che è sparita la $b$, e ciò conferma l'intuito. Ma vuol dire anche che puoi calcolare il momento di inerzia di una qualunque ellisse omogenea di massa $M$ e semiasse $a$. Io calcolerei quello dell'ellisse che ha $b=a$...