Calcolo intensità del vettore di Poynting in un punto dell'asse
Buon pomeriggio ragazzi , ho questo problema ,all'apparenza facile ma credo che mi sfugga qualcosa..ecco il testo :
La differenza di potenziale applicata tra le armature di un condensatore piano avente armature circolari di raggio $R=0.05 m$ e capacità $C=6 \muF$ varia alla rapidità di $10^4 \frac{V}{s}$ . Quanto vale l'intensità del vettore di Poynting in un punto distante dall'asse $0.02 m$ ?
Per iniziare ho posizionare una delle due armature circolare su un piano xy in modo che il vettore E campo elettrico sia lungo l'asse positivo delle z . Il Vettore di Poynting è dato dalla relazione $\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}$ . per calcolare $\vec{H}$ uso la formula $\vec{\nabla} \times \vec{H}=\epsilon_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}(t)}{\partial t} dS$ , ma prima devo calcolare il campo $\vec{E}(t)$ no?
Se questa strada fosse corretta , come potrei continuare? Penso che si debbano usare i restanti dati ovvero $R,C$ e la variazione del potenziale..
La differenza di potenziale applicata tra le armature di un condensatore piano avente armature circolari di raggio $R=0.05 m$ e capacità $C=6 \muF$ varia alla rapidità di $10^4 \frac{V}{s}$ . Quanto vale l'intensità del vettore di Poynting in un punto distante dall'asse $0.02 m$ ?
Per iniziare ho posizionare una delle due armature circolare su un piano xy in modo che il vettore E campo elettrico sia lungo l'asse positivo delle z . Il Vettore di Poynting è dato dalla relazione $\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}$ . per calcolare $\vec{H}$ uso la formula $\vec{\nabla} \times \vec{H}=\epsilon_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}(t)}{\partial t} dS$ , ma prima devo calcolare il campo $\vec{E}(t)$ no?
Se questa strada fosse corretta , come potrei continuare? Penso che si debbano usare i restanti dati ovvero $R,C$ e la variazione del potenziale..
Risposte
Dalla rapidità di variazione della tensione puoi (per esempio) determiare la corrente entrante nel condensatore via equazione costitutiva e quindi la corrente di spostamento; a questo punto, vista la simmetria assiale, potrai ritenere circolari le linee di forza del campo magnetico anche internamente alle armature del condensatore, con una semplice proporzione quadratica (4/25) ricavare la corrente di spostamento concatenata alla linea di forza di raggio di 2 cm e con Biot e Savart il campo H.
Per quanto riguarda il campo elettrico però ti manca un dato, ovvero un valore iniziale per la tensione che se non fornito dal testo non potrai far altro che assumere nullo.
Per quanto riguarda il campo elettrico però ti manca un dato, ovvero un valore iniziale per la tensione che se non fornito dal testo non potrai far altro che assumere nullo.
No non mi è stato fornito , è questa cosa mi ha un pò spiazzato , grazie dei consigli , ci rifletto sù 
"RenzoDF":
con una semplice proporzione quadratica (4/25)...
Non capisco.. da dove esce quel rapporto?
Dal rapporto fra la superficie del cerchio di raggio 2 cm e quello di raggio 5 cm, rapporto che deriva dall'ipotizzare che la densità di corrente di spostamento sia costante (e non possiamo fare altrimenti).
Se indico con $V=\frac{V_0}{t}$ la tensione variabile posso calcolare la corrente $i=C\frac{\partial V}{ \partial t}$ , è corretto ?
No $V_0/t=10^4 V/s$ è già la derivata (costante) di V rispetto a t, ad ogni modo ok per la seconda relazione, quella è proprio l'equazione costitutiva del bipolo condensatore, e anche un modo alternativo per ricavare la corrente di spostamento, che internamente al condensatore va a sostituire quella di conduzione esterna allo stesso. 
Quindi $i_s=C\frac{V}{t}$ ma per defenizione $i_s=\epsilon_0 \oint_s \frac{\partial E}{\partial t}dS$ Uguagliando :
$C\frac{V}{t}=\epsilon_0 \oint_s \frac{\partial E}{\partial t}dS$ da cui , sò che è matematicamente sbagliato ma sotto "certe" condizioni il passaggio è possibile , determino che $E=\frac{CV \ln(t)}{\pi\epsilon_0 R^2}$ , corretto come ragionamento?
$C\frac{V}{t}=\epsilon_0 \oint_s \frac{\partial E}{\partial t}dS$ da cui , sò che è matematicamente sbagliato ma sotto "certe" condizioni il passaggio è possibile , determino che $E=\frac{CV \ln(t)}{\pi\epsilon_0 R^2}$ , corretto come ragionamento?
"MillesoliSamuele":
... corretto come ragionamento?
No, come ti avevo già detto V/t è una costante (chiamiamola k) ovvero è la rapidità di aumento della tensione, pari a $k=10^4$ volt al secondo, la tensione sale quindi linearmente nel tempo $V(t)=kt$ [nota]Dovendo assumere tensione nulla per t=0 a causa della mancanza del dato iniziale V(0).[/nota] e parimenti sale linearmente nel tempo il campo $E(t)=V/d=(kt)/d$ dove d è la distanza fra le armature, ne segue che la corrente entrante nel condensatore, pari a quella di spostamento interna, sarà pari a
$i_s=C (dV(t))/(dt)=Ck$
anch'essa costante e ricavabile equivalentemente da
$i_s=\epsilon_0 (d \Phi_E(t))/(dt)=\epsilon_0 \int_S \frac{\partial E}{\partial t}dS=\epsilon_0 Sk/d=Ck$
Una sua quotaparte (4/25) si concatenerà con la circonferenza di raggio 2 cm e uguaglierà la circuitazione del campo magnetizzante H sulla stessa; campo che risulterà costante e normale al campo elettrico E(t) funzione del tempo, che porterà ad un vettore di Poynting diretto verso l'asse del sistema (che rappresenterà la densità del flusso energetico attraverso la sua superficie laterale del cilindro associato a quel raggio, che va a caricare quella frazione interna del condensatore).
PS Riciclando una vecchio disegno FidoCadJ, la geometria è la seguente
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 4 -16711885 1.0
FJC L 6 -6697729 0.39
FJC L 7 -3355444 0.56
FJC L 8 -10066330 1.0
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 98 116 98 95 0
EV 130 95 70 75 0
LI 98 20 98 55 0
LI 120 55 120 85 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 80 55 80 85 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
EV 80 50 120 60 0
FCJ 1 0
EV 80 80 120 90 0
FCJ 1 0
LI 102 116 102 95 0
LI 100 55 100 85 0
FCJ 0 0 3 1 4 0
MC 105 30 1 0 074
EV 98 19 102 21 0
LI 102 20 102 55 0
EV 98 54 102 56 0
EV 102 117 98 115 0
EV 70 45 130 65 0
LI 130 56 130 85 0
FCJ 0 0 2 1 3 0
EV 80 60 120 70 0
EV 160 55 170 65 0
LI 160 60 170 60 0
LI 100 20 100 15 0
LI 100 15 165 15 0
LI 165 15 165 55 0
LI 165 65 165 125 0
LI 165 125 100 125 0
LI 100 125 100 117 0
LI 158 67 158 53 0
FCJ 2 0 3 1 0 1
TY 153 58 4 3 0 0 0 * J
TY 163 57 4 3 0 0 0 *
LI 109 71 112 71 1
TY 109 71 4 3 0 1 1 * H
LI 120 66 113 71 1
FCJ 2 0 2 1 0 0
LI 120 66 120 74 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 123 69 126 69 2
LI 100 85 120 85 2
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 107 80 4 3 0 1 2 * r
TY 123 69 4 3 0 1 2 * E
TY 108 27 4 3 0 1 2 * ic(t)=J=Ck
BE 134 56 139 70 138 79 134 86 3
FCJ 1 0 3 1 0 0
TY 121 49 4 3 0 1 3 * R
LI 100 55 130 55 3
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 139 69 4 3 0 1 3 * V(t)=kt
LI 70 56 70 85 4
FCJ 0 0 2 1 1 0
TY 73 66 4 3 0 1 4 * d
EP 80 60 120 70 7
FCJ 1 0
LI 110 65 113 65 9
TY 110 65 4 3 0 1 9 * S
LI 120 66 114 65 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 88 64 4 3 0 1 14 * s
TY 83 68 4 3 0 1 14 * l[/fcd]
"RenzoDF":
$E(t)=V/d=(kt)/d$
$i_s=\epsilon_0 (d \Phi_E(t))/(dt)=\epsilon_0 \int_S \frac{\partial E}{\partial t}dS=\epsilon_0 Sk/d=Ck$
E da li deduco che il campo $E=\frac{CKt}{\epsilon_0 \pi R^2}$
Il disegno è interessantissimo , ma come sempre io l'avrei disegnato capovolto
"MillesoliSamuele":
...
E da li deduco che il campo $E=\frac{CKt}{\epsilon_0 \pi R^2}$
"MillesoliSamuele":
...
Il disegno è interessantissimo , ma come sempre io l'avrei disegnato capovolto
Voi fisici siete proprio "strani"; io vorrei solo sapere da dove storicamente arriva questa "strana" consuetudine.
... che mi sembra poi sia solo italiana ... proverò ad indagare.
BTW Se non erro quel generatore di corrente voi lo chiamate "generatore di tensione a corrente costante", confermi?
Puoi togliere le " " . Sono curioso di saperla pure io 
No no lo chiamiamo semplicemente generatore , siamo sbrigativi sui nomi . Corrente costante .. mi vengono i brividi 
Ragiono sulla seconda parte .. vorrei usare $\oint_{\gamma} Hdr=i_s $
No no lo chiamiamo semplicemente generatore , siamo sbrigativi sui nomi
. Corrente costante .. mi vengono i brividi Ragiono sulla seconda parte .. vorrei usare $\oint_{\gamma} Hdr=i_s $
"MillesoliSamuele":
... vorrei usare $\oint_{\gamma} Hdr=i_s $
Ok, ma ricordati che se con $\gamma$ indichi la circonferenza di raggio r < R, la circuitazione sarà pari solo la parte concatenata della corrente di spostamento is non all'intero valore.
"RenzoDF":
[quote="MillesoliSamuele"]... vorrei usare $\oint_{\gamma} Hdr=i_s $
Ok, ma ricordati che se con $\gamma$ indichi la circonferenza di raggio r < R, la circuitazione sarà pari solo la parte concatenata della corrente di spostamento is non all'intero valore.[/quote]
Sarebbe il "famoso" $\frac{4}{25}$ ?
Si, la corrente di spostamento si dovrà ritenere uniformemente distribuita sulla superficie trasversale $s$ interna al condensatore, portando ad una densità di corrente di spostamento
$j_s=i_s/(\pi R^2)$
e di conseguenza la quotaparte $i_{sp}$ concatenata con la circonferenza di raggio r sarà ridotta del rapporto
$(\pi r^2)/(\pi R^2)=4/25$
ovvero $i_{sp}=i_s(r^2)/(R^2)=(4i_s)/25 $
$j_s=i_s/(\pi R^2)$
e di conseguenza la quotaparte $i_{sp}$ concatenata con la circonferenza di raggio r sarà ridotta del rapporto
$(\pi r^2)/(\pi R^2)=4/25$
ovvero $i_{sp}=i_s(r^2)/(R^2)=(4i_s)/25 $
Quindi da $\oint_\{gamma} Hdr=i_{sp}=\frac{4}{25}i_s$ si ha : $H=\frac{2 i_s}{25\pi r}$
il modulo del vettore di Poynting sarà : $|\vec{S}|=EH\sin(\frac{\pi}{2})=EH=frac{KtC}{\epsilon_0 \pi R^2}\frac{2 i_s}{25\pi r}$
il modulo del vettore di Poynting sarà : $|\vec{S}|=EH\sin(\frac{\pi}{2})=EH=frac{KtC}{\epsilon_0 \pi R^2}\frac{2 i_s}{25\pi r}$
A occhio mi sembra corretto, ma giusto per controllo, prova (come ti dicevo) a verificare che $|\vec S|$ sia pari alla densità del flusso di energia [nota]Energia che attraversa l'unità di superficie nell'unità di tempo, in $W/m^2$.[/nota] che entra nel condensatore ... "curiosamente" passando attraverso lo spazio vuoto fra le armature, dall'esterno delle stesso verso l'interno, e non attraverso la superficie delle armature:!: 
Per farlo sostituisci $i_s$ con $Ck$ e vai a considerare S in corrispondenza al raggio r=R (per semplicità).
Per farlo sostituisci $i_s$ con $Ck$ e vai a considerare S in corrispondenza al raggio r=R (per semplicità).
"RenzoDF":
$|\vec S|$ sia pari alla densità del flusso di energia
Dagli appunti ricordo che $|\vec S|=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ oppure è uguale anche all' energia dissipata ( effetto Joule $P=Ri^2$ ) .
Ma usando la prima formula ottengo due cose distinte.
"MillesoliSamuele":
...
Dagli appunti ricordo che $|\vec S|=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$
Mi sa che stai confondendo l'energia specifica con la densità di flusso energetico; ovvero i $J/m^3$ con i $W/m^2$
"MillesoliSamuele":
... oppure è uguale anche all' energia dissipata ( effetto Joule $P=Ri^2$ ) .
No, quella è la potenza dissipata in un resistore e qui non ne abbiamo manco uno.
"MillesoliSamuele":
... Ma usando la prima formula ottengo due cose distinte.
E te credo.
Prova a partire dalla semplice relazione dell'energia immagazzinata in un condensatore di data capacità C ad una data tensione V (che di certo conosci) e poi, vista la salita lineare di V, vai a calcolarti il flusso energetico via sua derivata temporale.
Questo flusso energetico (come ti dicevo) dovrà corrispondere al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del cilindro di raggio $R$ e altezza $d$ che rappresenta la frontiera geometrica del condensatore con il mondo esterno.
Se i due risultati coincidono allora la tua relazione per S sarà (molto probabilmente) corretta
Scusami, mi sono confuso un pò , l'energia immagazzinata in un condensatore è $U=\frac{1}{2}CV=\frac{1}{2}Ck^2t^2$
ora devo calcolare $\frac{dU}{dt}$ ? Se non ho capito male : $\frac{dU}{dt}=Ck^2t$ Sicuramente mi stà sfuggendo qualcosa di stupido ..
ora devo calcolare $\frac{dU}{dt}$ ? Se non ho capito male : $\frac{dU}{dt}=Ck^2t$ Sicuramente mi stà sfuggendo qualcosa di stupido ..
"MillesoliSamuele":
... Sicuramente mi stà sfuggendo qualcosa di stupido ..
Si, ti sta sfuggendo il fatto che se non vai a calcolare il flusso di S non puoi fare un confronto.
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