Calcolo funzione d'onda: caso 1D di elettrone libero con muro impenetrabile.

[30SBX8]

Salve a tutti, ho dei problemi nel definire un coefficiente della funzione d'onda per un elettrone libero di muoversi lungo l'asse x, limitato in zero da un "muro" impenetrabile.
L'elettrone è libero di muoversi lungo nell'intervallo $(0,+ oo)$.

Ecco il mio procedimento
L'operatore dell'hamiltoniana dell'elettrone è: $ hat(H) = -bar(h)^2/(2m)(partial^2 )/(partial x^2)$ .
L'equazione di Schrodinger stazionaria: $ (partial^2 )/(partial x^2)* psi (x) = 2m/bar(h)^2E*psi (x) $
La soluzione sono due onde piane: $ psi(x)=Ae^(ikx) +Be^(-ikx) $
Imponendo la condizione di annullamento dell'onda in X=0 ottengo che $A= -B$.
$ psi(x)=A(e^(ikx) -e^(-ikx)) = A[cos(kx) +isin(kx) - cos(-kx) -isin(-kx)]= A2isin(kx) $ si tratta di un'onda stazionaria.

Come faccio a ricavare il valore del coefficiente A? Sul mio libro di testo è stato posto A=1, ma non è stato indicato il motivo.
Avevo provato ad imporre la condizione di normalizzazione dell'onda: $ = 1$
che si traduce in: $ int_(0)^(+oo) abs(psi(x))^2 dx =int_(0)^(+oo) 4A^2sin^2(kx) dx =1$ Condizione mai verificata poichè l'integrale non converge!
Mi potete aiutare?
Grazie

[anonymous_56b3e2]

Lo stato non è legato, quindi la funzione d'onda non è normalizzabile, purtroppo. In questi casi interessa di più la densità di probabilità relativa fra due punti.

Se vuoi, usando la delta di Dirac, si può salvare la normalizzazione. La formula è:

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\alpha x} dx = \delta(\alpha}$.