Calcolo forze complicato.
Salve a tutti, sono nuovo del forum, mi chiamo Davide e chiedo scusa sin d'ora se la mia terminologia non è correttissima (i miei studi scolastici sono passati da un pò..)
Mi sono iscritto perchè sto cercando aiuto su un problema che devo risolvere, e sul quale sto sbattendo la testa da un pò. Spero voi vogliate (e possiate) aiutarmi. (spero anche di aver postato nella sezione giusta!)
Immaginate un tetrapode inverso a fili. praticamente un oggetto 'appeso' a 4 fili, diciamo per semplicità ai 4 angoli del soffitto di una stanza. La posizione (x,y,z) dell'oggetto non è per forza centrata, anzi può essere qualsiasi posizione all'interno della stanza.
Ora l'oggetto ha un suo peso e ovviamente la tensione (si dice così?) su ogni cordino è diversa e cambia in base all'angolo che forma il cordino con il pavimento e agli angoli fra le proiezioni a terra dei cordini.
Quello che sto cercando di tirar fuori sono le formule per calcolare (in via teorica) il 'peso' applicato ad ogni cordino. So ovviamente che in realtà difficilmente lavoreranno tutti e quattro i cordini, ma a me serve solo un conto teorico.
In giro per la rete ho trovato solo la formula per il calcolo di un tripode :http://www.d2flying.com/riggingmath/Lesson14-Tension%20on%20Three-PointBridles.html e, anche se l'ho capita, non sono capace di trasformarla per 4 'gambe'.
Io ho ragionato con la somma dei vettori di forza, quindi sommando le componenti (x,y,z) dei vettori forza di ogni cordino si ha una forza uguale e contraria a quella del peso applicato. quello che non riesco a fare è il contrario, Cioè: conosco il peso applicato, gli angoli e le lunghezze dei cordini, e devo trovare le tensioni dei 4 cordini.
Sto seguendo un ragionamento per il quale, visto che la somma delle componenti X e Y deve dare sempre 0, immaginavo che le 4 componenti Z dovessero essere in qualche modo in rapporto con gli angoli dei 4 cordini. purtroppo non riesco ad ottenere risultati veri al 100%.
Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi.
Davide.
Mi sono iscritto perchè sto cercando aiuto su un problema che devo risolvere, e sul quale sto sbattendo la testa da un pò. Spero voi vogliate (e possiate) aiutarmi. (spero anche di aver postato nella sezione giusta!)
Immaginate un tetrapode inverso a fili. praticamente un oggetto 'appeso' a 4 fili, diciamo per semplicità ai 4 angoli del soffitto di una stanza. La posizione (x,y,z) dell'oggetto non è per forza centrata, anzi può essere qualsiasi posizione all'interno della stanza.
Ora l'oggetto ha un suo peso e ovviamente la tensione (si dice così?) su ogni cordino è diversa e cambia in base all'angolo che forma il cordino con il pavimento e agli angoli fra le proiezioni a terra dei cordini.
Quello che sto cercando di tirar fuori sono le formule per calcolare (in via teorica) il 'peso' applicato ad ogni cordino. So ovviamente che in realtà difficilmente lavoreranno tutti e quattro i cordini, ma a me serve solo un conto teorico.
In giro per la rete ho trovato solo la formula per il calcolo di un tripode :http://www.d2flying.com/riggingmath/Lesson14-Tension%20on%20Three-PointBridles.html e, anche se l'ho capita, non sono capace di trasformarla per 4 'gambe'.
Io ho ragionato con la somma dei vettori di forza, quindi sommando le componenti (x,y,z) dei vettori forza di ogni cordino si ha una forza uguale e contraria a quella del peso applicato. quello che non riesco a fare è il contrario, Cioè: conosco il peso applicato, gli angoli e le lunghezze dei cordini, e devo trovare le tensioni dei 4 cordini.
Sto seguendo un ragionamento per il quale, visto che la somma delle componenti X e Y deve dare sempre 0, immaginavo che le 4 componenti Z dovessero essere in qualche modo in rapporto con gli angoli dei 4 cordini. purtroppo non riesco ad ottenere risultati veri al 100%.
Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi.
Davide.
Risposte
Ciao Davide.
Il tuo problema così come l'hai enunciato mi sembra senza soluzione, semplicemente perchè siamo in un caso iperstatico. Ovvero 4 corde sono sovrabbondanti per sostenere il peso, ne basterebbero 3. Infatti se l'oggetto fosse appeso a 3 corde, tagliandone una sicuramente cambierebbe di posizione. Ora se alle 3 corde ne aggiungiamo una quarta, se questa è un pelo più lunga del necessario l'oggetto non si muove e la quarta corda aggiunta si affloscia e risulta inutile, se la quarta corda è un pelo più corta del necessario l'oggetto venendo attaccato a essa si sposta di un poco, e allora si affloscia una delle 3 corde precedenti.
Il problema avrebbe una soluzione (suppongo abbastanza complessa da calcolare) solo se le 4 corde non fossero rigide ma fossero 4 elastici, perché allora tutti collaborerebbero a sostenere il peso con tensioni proporzionali ai loro allungamenti rispetto alla lunghezza di riposo.
Il tuo problema così come l'hai enunciato mi sembra senza soluzione, semplicemente perchè siamo in un caso iperstatico. Ovvero 4 corde sono sovrabbondanti per sostenere il peso, ne basterebbero 3. Infatti se l'oggetto fosse appeso a 3 corde, tagliandone una sicuramente cambierebbe di posizione. Ora se alle 3 corde ne aggiungiamo una quarta, se questa è un pelo più lunga del necessario l'oggetto non si muove e la quarta corda aggiunta si affloscia e risulta inutile, se la quarta corda è un pelo più corta del necessario l'oggetto venendo attaccato a essa si sposta di un poco, e allora si affloscia una delle 3 corde precedenti.
Il problema avrebbe una soluzione (suppongo abbastanza complessa da calcolare) solo se le 4 corde non fossero rigide ma fossero 4 elastici, perché allora tutti collaborerebbero a sostenere il peso con tensioni proporzionali ai loro allungamenti rispetto alla lunghezza di riposo.
Ciao, la differenza infatti è tra realtà e teoria. nella realtà, come dici tu basta che un cordino è di un decimo di mm più lasco e i carichi sulle 4 corde risultano diversi (quel minimo di elasticità di ogni cordino fa si che entro un certo margine nessuno dei 4 cordini si a completamente lasco.), quindi sono d'accordo con te, ovviamente.
Però, nella teoria, se io ammetto che le misure dei 4 cordini siano perfettamente le diagonali (o gli spigoli) della piramide rovesciata, allora ci sarà una sola soluzione. cioè una sola distribuzione dei carichi sui 4 cordini. Quindi immagino ciò sia calcolabile.
Dico bene?
Davide.
Però, nella teoria, se io ammetto che le misure dei 4 cordini siano perfettamente le diagonali (o gli spigoli) della piramide rovesciata, allora ci sarà una sola soluzione. cioè una sola distribuzione dei carichi sui 4 cordini. Quindi immagino ciò sia calcolabile.
Dico bene?
Davide.
No, quando si è in un caso iperstatico come questo ipotizzando rigidità perfetta dei cordini la soluzione è indeterminata. Per fare il calcolo occorre per forza conoscere l'elasticità di ciascuno di essi .
Ti faccio un esempio più di comune esperienza: le 4 gambe di una sedia. E' un caso iperstatico perché la sedia sta in piedi anche con 3 gambe, e se avesse 3 gambe si potrebbe calcolare lo sforzo di compressione di ciascuna gamba. Con 4 gambe inve la sedia "zoppica" sempre. Se non lo fa apparentemente è o peché abbiamo messo i feltrini, cioè abbiamo aggiunto elementi di elasticità come dicevo prima, oppure perchè le gambe sono così ben misurate che la pur minima elasticità della struttura della sedia è sufficiente a distribuire il carico su tutte. Oppure perché lo "zoppicamento" è così minimo da risultare inavvertibile, ma comunque se così fosse una delle 4 gambe risulterebbe completamente scarica.
Ti faccio un esempio più di comune esperienza: le 4 gambe di una sedia. E' un caso iperstatico perché la sedia sta in piedi anche con 3 gambe, e se avesse 3 gambe si potrebbe calcolare lo sforzo di compressione di ciascuna gamba. Con 4 gambe inve la sedia "zoppica" sempre. Se non lo fa apparentemente è o peché abbiamo messo i feltrini, cioè abbiamo aggiunto elementi di elasticità come dicevo prima, oppure perchè le gambe sono così ben misurate che la pur minima elasticità della struttura della sedia è sufficiente a distribuire il carico su tutte. Oppure perché lo "zoppicamento" è così minimo da risultare inavvertibile, ma comunque se così fosse una delle 4 gambe risulterebbe completamente scarica.
Capisco quello che intendi, ma non sono d'accordo. Però prima di controbbatere, mi vado ad informare un pò sulla iperstaticità, perchè magari mi stò perdendo qualche pezzo per strada. (vedi: mia ignoranza)
Grazie cmq, per adesso.
Grazie cmq, per adesso.
Allora, tralasciando per un attimo il discorso della possibilità che il peso sia distribuito su tutti e 4 i cordini anche senza contare l'elasticità, penso di aver trovato una soluzione.
Praticamente, chiamiamo le 4 diagonali A,B,C e D e i 4 angoli che queste creano con il 'soffitto' a,b,c,d.
Scomponendo le 4 forze espresse lungo i 4 cordini in componenti (x,y,z), considero che le due componenti (x,y) sono inizialmente ininfluenti per il calcolo, in quanto la somma tra le componenti x e y dei 4 vettori deve dare 0.
Quindi è interessante per questo conto la componente z di ogni vettore, perchè la somma delle 4 componenti z deve dare la lunghezza del vettore opposto a quello del peso. (per intenderci uguale a quello del peso, ma rivolto verso l'alto)
Una volta trovata la componente z di un vettore, diciamo sul cordino A (che chiamerò Az), e conoscendo l'angolo 'a', si può calcolare il vettore forza lungo A (che chiamerò fA) che è:
fA = Az / sin(a). ### Chiedo scusa ma non riesco ad usare la composizione formule del forum.
Il problema è trovare la proporzione delle 4 componenti z rispetto alla posizione nello spazio dell'oggetto appeso.
Penso di aver risolto così:
Chiamo X e Y le coordinate in piano dell'oggetto appeso, quindi per esempio AX + BX = AB
quindi calcolo:
Az = Peso * (1 - AX/AB) * (1 - AY/AB)
Bz = Peso * (1 - BX/AB) * (1 - BY/AB)
ecc..
questo partendo dal ragionamento che se la posizione (x,y) dell'oggetto coincide con (x,y) del punto A, allora il cordino A sosterrà il 100% del peso, mentre gli altri niente.
con la formula sopra poi finalmente ho il vettore forza di ogni cordino.
Scusate la lungaggine, cmq se a qualcuno interessa ho messo tutto ciò su un foglio LibreOffice, se interessa posso postarlo.
Ciao, Davide.
Praticamente, chiamiamo le 4 diagonali A,B,C e D e i 4 angoli che queste creano con il 'soffitto' a,b,c,d.
Scomponendo le 4 forze espresse lungo i 4 cordini in componenti (x,y,z), considero che le due componenti (x,y) sono inizialmente ininfluenti per il calcolo, in quanto la somma tra le componenti x e y dei 4 vettori deve dare 0.
Quindi è interessante per questo conto la componente z di ogni vettore, perchè la somma delle 4 componenti z deve dare la lunghezza del vettore opposto a quello del peso. (per intenderci uguale a quello del peso, ma rivolto verso l'alto)
Una volta trovata la componente z di un vettore, diciamo sul cordino A (che chiamerò Az), e conoscendo l'angolo 'a', si può calcolare il vettore forza lungo A (che chiamerò fA) che è:
fA = Az / sin(a). ### Chiedo scusa ma non riesco ad usare la composizione formule del forum.
Il problema è trovare la proporzione delle 4 componenti z rispetto alla posizione nello spazio dell'oggetto appeso.
Penso di aver risolto così:
Chiamo X e Y le coordinate in piano dell'oggetto appeso, quindi per esempio AX + BX = AB
quindi calcolo:
Az = Peso * (1 - AX/AB) * (1 - AY/AB)
Bz = Peso * (1 - BX/AB) * (1 - BY/AB)
ecc..
questo partendo dal ragionamento che se la posizione (x,y) dell'oggetto coincide con (x,y) del punto A, allora il cordino A sosterrà il 100% del peso, mentre gli altri niente.
con la formula sopra poi finalmente ho il vettore forza di ogni cordino.
Scusate la lungaggine, cmq se a qualcuno interessa ho messo tutto ciò su un foglio LibreOffice, se interessa posso postarlo.
Ciao, Davide.
No, ti ripeto, le cose non stanno come tu dici.
Ho cercato di spiegartelo facendo leva sull'intuizione fisica, ma se può aiutare adesso te lo spiego anche dal punto di vista matematico.
Supponiamo per il momento che le corde siano solo 3.
Prendiamo una delle corde, ad esempio la n° 1, e consideriamo il coseno dell'angolo che essa fa con ciascuno degli assi cartesiani. Chiamiamo $k_(x1),k_(y1),k_(z1)$ questi coseni. Se chiamiamo $T_1$ la tensione della coda 1 allora le componenti di questa tensione secondo i 3 assi sono $T_1k_(x1), T_1k_(y1), T_1k_(z1)$. E così facciamo anche per le corde n° 2, 3. Allora applicando le leggi della statica noi sappiamo che per ciascun asse la somma delle componenti delle forze agenti deve essere nulla. Possiamo quindi scrivere le seguenti equazioni:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{k_{x1}}{T_1} + {k_{x2}}{T_2} + {k_{x3}}{T_3} = 0 \\
{k_{y1}}{T_1} + {k_{y2}}{T_2} + {k_{y3}}{T_3} = 0 \\
{k_{z1}}{T_1} + {k_{z2}}{T_2} + {k_{z3}}{T_3} = mg \\
\end{array} \right.\]
Le incognite sono le 3 tensioni e il sistema ha 3 equazioni, dunque a meno di casi particolari come per esempio la complanarità delle 3 corde, esiste una soluzione univoca per le tre tensioni.
Cosa succede se le corde sono 4? succede che avremmo 4 incognite su 3 equazioni (eh sì, purtroppo in questo mondo le dimensioni spaziali sono sempre e solo 3...
), dunque il sistema ha infinite soluzioni; come dire cioè che la soluzione è indeterminata.
Spero di averti convinto... o no?
Ciao.
Ho cercato di spiegartelo facendo leva sull'intuizione fisica, ma se può aiutare adesso te lo spiego anche dal punto di vista matematico.
Supponiamo per il momento che le corde siano solo 3.
Prendiamo una delle corde, ad esempio la n° 1, e consideriamo il coseno dell'angolo che essa fa con ciascuno degli assi cartesiani. Chiamiamo $k_(x1),k_(y1),k_(z1)$ questi coseni. Se chiamiamo $T_1$ la tensione della coda 1 allora le componenti di questa tensione secondo i 3 assi sono $T_1k_(x1), T_1k_(y1), T_1k_(z1)$. E così facciamo anche per le corde n° 2, 3. Allora applicando le leggi della statica noi sappiamo che per ciascun asse la somma delle componenti delle forze agenti deve essere nulla. Possiamo quindi scrivere le seguenti equazioni:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{k_{x1}}{T_1} + {k_{x2}}{T_2} + {k_{x3}}{T_3} = 0 \\
{k_{y1}}{T_1} + {k_{y2}}{T_2} + {k_{y3}}{T_3} = 0 \\
{k_{z1}}{T_1} + {k_{z2}}{T_2} + {k_{z3}}{T_3} = mg \\
\end{array} \right.\]
Le incognite sono le 3 tensioni e il sistema ha 3 equazioni, dunque a meno di casi particolari come per esempio la complanarità delle 3 corde, esiste una soluzione univoca per le tre tensioni.
Cosa succede se le corde sono 4? succede che avremmo 4 incognite su 3 equazioni (eh sì, purtroppo in questo mondo le dimensioni spaziali sono sempre e solo 3...
), dunque il sistema ha infinite soluzioni; come dire cioè che la soluzione è indeterminata.Spero di averti convinto... o no?
Ciao.
più o meno...o meglio non del tutto.
Innanzitutto però grazie della spiegazione perchè mi è piaciuta molto.
mi viene questo dubbio... perchè allora esiste una formula per calcolare il carico di ogni motore (o corda) che solleva un trave preso in n punti equidistanti? sicuramente io mi spiego male, cmq per capirci. un trave (teoricamente rigido e perfetto) sollevato da 3 motori, uno per ogni estremità e uno al centro. adesso non la ricordo, ma so che la formula mi 'spiega' che il carico che ho al centro è il doppio di quello di ogni estremità. (so ovviamente che in pratica è diverso..)
ebbene, si tratta sempre di un iperstaticità, giusto?
perdona ti prego i miei termini non corretti.
cosa ne pensi?
o magari sto sbagliando e quello a cui mi riferisco io come teoria, in realtà è un calcolo basato su un'elasticità prossima allo zero, ma che comunque permette un pur se minimo assetto delle forze in gioco.
Innanzitutto però grazie della spiegazione perchè mi è piaciuta molto.
mi viene questo dubbio... perchè allora esiste una formula per calcolare il carico di ogni motore (o corda) che solleva un trave preso in n punti equidistanti? sicuramente io mi spiego male, cmq per capirci. un trave (teoricamente rigido e perfetto) sollevato da 3 motori, uno per ogni estremità e uno al centro. adesso non la ricordo, ma so che la formula mi 'spiega' che il carico che ho al centro è il doppio di quello di ogni estremità. (so ovviamente che in pratica è diverso..)
ebbene, si tratta sempre di un iperstaticità, giusto?
perdona ti prego i miei termini non corretti.
cosa ne pensi?
o magari sto sbagliando e quello a cui mi riferisco io come teoria, in realtà è un calcolo basato su un'elasticità prossima allo zero, ma che comunque permette un pur se minimo assetto delle forze in gioco.
Anch'io tempo fa postai un problema del genere e arrivai anch'io alle conclusioni di Falco5x che devo dire le ha spiegate molto bene. Per risolvere un problema di questo genere che potrebbe essere equivalente ad un problema di determinare più di 3 reazioni vincolari, ci si deve rifare a delle ipotesi specifiche che contemplino le proprietà dei materiali considerati (elasticità ecc..). Nel caso di un corpo appoggiato ad esempio, in cui vi è la necessità di determinare le reazioni vincolare prodotte da più di 3 appoggi ci si rifà alla cedevolezza elastica del suolo.....probabilmente questa ipotesi potrebbe valere anche per il tuo problema
Infatti la spiegazione di falco5x non fa una piega! le mie formule ho paura siano un pò troppo semplici, però nei punti 'conosciuti' ottengo i risultati aspettati.. questo mi fa ben sperare. Tipo, quando la posizione è in X=0
o Y=0 e i pesi sono distribuiti solo su 2 cordini, ottengo i risultati aspettati (per 2 cordini le formule sono conosciute e facili!)
così come torna la formula per calcolare il carico uniformemente distribuito su 4 cordini di misura ed inclinazione identica (praticamente quando il peso è al centro esatto). a proposito, questa ce la dovrei avere... se la trovo la posto.
o Y=0 e i pesi sono distribuiti solo su 2 cordini, ottengo i risultati aspettati (per 2 cordini le formule sono conosciute e facili!)
così come torna la formula per calcolare il carico uniformemente distribuito su 4 cordini di misura ed inclinazione identica (praticamente quando il peso è al centro esatto). a proposito, questa ce la dovrei avere... se la trovo la posto.
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