Calcolo flusso del campo magnetico

[Shika93]

Non mi è chiaro il calcolo di questo esercizio:
una spira circolare di raggio $a=2.5m$ è immersa in un campo magnetico $B(r,t)=B_0/rt\hat{u_z}$ e per $r>0$, $B_0=0.2$.
Determinare il flusso $\phi_B$

Io l'ho sempre calcolato usando l'area (del cerchio), mentre in questo caso non capisco perchè nella soluzione me lo risolve con la circonferenza.
Io avevo fatto:

$\phi=\int_{S}^{}B*dS=\int_{0}^{a}B_0/rt\pir^2dr=\piB_0ta^2/2$ $Wb$

Nella soluzione invece mi fa
$\phi=\int_{S}^{}B*dS=\int_{0}^{a}B_0/rt2\pirdr=\pit$ $Wb$

Ora, secondo il teorema di Gauss, il flusso è definito come l'insieme delle linee del campo magnetico $B$ attraverso una superficie $S$, no? Perchè in questo caso si utilizza il perimetro?

Metto in allegato l'immagine dell'esercizio.

[RenzoDF]

Per il flusso devi integrare (sommare) i flussi infinitesimi sulle corone circolari di superficie infinitesima $2\pirdr$, non su cerchi sovrapposti di raggio $r$ e superficie $\pir^2$ come fai tu, assegnando fra l'altro il campo magnetico sul loro bordo a tutta la sua superficie interna.

[Shika93]

Allora non capisco come mai negli altri esercizi, con la stessa richiesta, fosse giusto come facevo io.

Per esempio questo esercizio:

Una spira circolare di raggio $a = 5 cm$ e resistenza $R = 4\Omega$ `e immersa in un campo magnetico $B$ uniforme,
perpendicolare al piano della spira e che varia nel tempo con la legge $B(t) = \alpha + \betat = 0.127 + 0.255t$. Calcolare
il flusso di $B$ all’istante iniziale

E io l'ho risolto come $\phi=\int_{\Sigma}^{}B(t)d\Sigma=B(0)\pi a^2=1mWb$ e la soluzione concorda.

[RenzoDF]

"Shika93":Allora non capisco come mai negli altri esercizi, con la stessa richiesta, fosse giusto come facevo io.

Perché in quel caso non hai usato lo stesso metodo, ovvero non hai erroneamente scritto

$\int_{0}^{a}B(t)\pi r^2dr$

ma hai invece correttamente scritto

$\int_{\Sigma }^{ } B(t)d\Sigma$

che equivale a scrivere

$\int_{0 }^{a } B(t)2\pi rdr$

in quanto la superficie infinitesima è esprimibile in funzione della variazione infinitesima del raggio come

$d\Sigma=2\pi r dr$

E' chiaro che in quest'ultimo tuo esempio, vista l'indipendenza di B da r, non serviva esprimere la superficie infinitesima in quel modo, ma era sufficiente osservare che

$\int_{\Sigma }^{ } d\Sigma=\Sigma=\pi r^2$

ma nel primo problema del Thread questa semplificazione non è più possibile in quanto il campo magnetico è diverso nelle diverse superfici infinitesime, essendo B funzione di r.

[Shika93]

Ah quindi per superficie infinitesima si intende la circonferenza $2\pirdr$ come hai scritto tu, che integrandola viene l'area?

Ho sempre fatto un errore in tutti gli esercizi che per miracolo alla fine tirava fuori giusti i risultati. Ora ho capito.
Quindi il mio
$\int_{\Sigma}^{}B(t)d\Sigma=\int_{R}^{}B(t)2\pirdr$
dove R è il raggio

[RenzoDF]

"Shika93":Ah quindi per superficie infinitesima si intende la circonferenza $2\pirdr$ come hai scritto tu, che integrandola viene l'area?

Una superficie è una superficie, non può essere una circonferenza : la superficie ha per unità di misura il $m^2$ la circonferenza il $m$; se tu avessi letto la mia risposta, ti saresti accorto che non c'è scritto

$d\Sigma=2\pi r $

uguaglianza assurda, ma bensì

$d\Sigma=2\pi r dr$

ovvero che la superficie infinitesima $d\Sigma$ è quella di una corona circolare di lunghezza $2\pir$ e di larghezza $dr$; di conseguenza per le unità di misura

$[\Sigma ]=[r][dr]=m^2$

[Shika93]

Adesso ho capito! Ti ringrazio per la disponibilità, soprattutto in questi giorni di festa!