Calcolo energia cinetica di un' asta che striscia su due cilindri inclinati
ciao a tutti
Un’asta di massa $M$e spessore trascurabile poggia su due cilindri i cui centri si trovano alla
distanza $L$. I cilindri ruotano a velocità costante $omega$,il superiore in senso antiorario e
l’inferiore in senso orario. Fra i due cilindri e l’asta è presente attrito (il coefficiente di attrito $ mu $ sia lo stesso sui due cilindri). L’asta forma un angolo di $pi/6$ rispetto all’ orizzontale e parte inizialmente con velocita $v_0=0$ con il centro di massa in posizione centrale rispetto ai due cilindri.calcolare l’energia cinetica dell’asta nell’istante in cui il suo centro di massa si trova in contatto con il disco inferiore.
ho applicato la rima cardinale all' asta (chiamo $vartheta$ l angolo di inclinazione dalla direzione orizzontale)
$ Ma=Mgsinvartheta-F_(A_1)+F_(A_2) $
$ 0=N_1+N_2-Mgcostheta $
la seconda cardinale all asta in G
$ 0=N_1(L/2+x)-N_2(L/2-x) $
da cui ottengo
$ F_(A_1)=muMgcostheta(L/2-x)1/L $
$ F_(A_2)=muMgcostheta(L/2+x)1/L $
applicando il teorema delle forze vive
$ T_f=MgL/2sintheta-int_(0)^(L/2) muMgcostheta(L/2-x)/L dx -int_(0)^(L/2) muMgcostheta(L/2+x)/L dx $
da cui
$ T_f=MgL/4(1+mu3^(1/2)/2) $
il procedimento che ho usato è corretto? perchè la soluzione del libro è totalmente diversa e non capisco come la ottiene.
calcola infatti la legge oraria
$ x=L/(4mutg(theta))(e^(omegat)-e^(-omegat)-2) $
e calcola poi la velocità
$ v=Lomega/(4mutg(theta))(e^(omegat)-e^(-omegat)) $
presumo che poi calcoli il tempo impiegato per raggiungere la posizione $x=L/2$ e sostituisca il risultato trovato nell' espressione della velocità.
Un’asta di massa $M$e spessore trascurabile poggia su due cilindri i cui centri si trovano alla
distanza $L$. I cilindri ruotano a velocità costante $omega$,il superiore in senso antiorario e
l’inferiore in senso orario. Fra i due cilindri e l’asta è presente attrito (il coefficiente di attrito $ mu $ sia lo stesso sui due cilindri). L’asta forma un angolo di $pi/6$ rispetto all’ orizzontale e parte inizialmente con velocita $v_0=0$ con il centro di massa in posizione centrale rispetto ai due cilindri.calcolare l’energia cinetica dell’asta nell’istante in cui il suo centro di massa si trova in contatto con il disco inferiore.
ho applicato la rima cardinale all' asta (chiamo $vartheta$ l angolo di inclinazione dalla direzione orizzontale)
$ Ma=Mgsinvartheta-F_(A_1)+F_(A_2) $
$ 0=N_1+N_2-Mgcostheta $
la seconda cardinale all asta in G
$ 0=N_1(L/2+x)-N_2(L/2-x) $
da cui ottengo
$ F_(A_1)=muMgcostheta(L/2-x)1/L $
$ F_(A_2)=muMgcostheta(L/2+x)1/L $
applicando il teorema delle forze vive
$ T_f=MgL/2sintheta-int_(0)^(L/2) muMgcostheta(L/2-x)/L dx -int_(0)^(L/2) muMgcostheta(L/2+x)/L dx $
da cui
$ T_f=MgL/4(1+mu3^(1/2)/2) $
il procedimento che ho usato è corretto? perchè la soluzione del libro è totalmente diversa e non capisco come la ottiene.
calcola infatti la legge oraria
$ x=L/(4mutg(theta))(e^(omegat)-e^(-omegat)-2) $
e calcola poi la velocità
$ v=Lomega/(4mutg(theta))(e^(omegat)-e^(-omegat)) $
presumo che poi calcoli il tempo impiegato per raggiungere la posizione $x=L/2$ e sostituisca il risultato trovato nell' espressione della velocità.
Risposte
Perché hai messo un meno davanti a tutti e due gli integrali delle forze di attrito? Comunque il tuo procedimento e quello del libro sono equivalenti, cioè il tuo procedimento se non avessi sbagliato a mettere i segni nei lavori delle forze di attrito, infatti una forza fa un lavoro positivo e l'altra negativo.
grazie mille per la risposta
Ho sbagliato, il segno - va messo solo davanti al primo integrale (dove integro la forza $F_(A_1)$) perche essa è discorde allo spostamento mentre nel secondo caso ($F_(A_2)$) metto il segno + perchè è concorde allo spostamento
Ho sbagliato, il segno - va messo solo davanti al primo integrale (dove integro la forza $F_(A_1)$) perche essa è discorde allo spostamento mentre nel secondo caso ($F_(A_2)$) metto il segno + perchè è concorde allo spostamento
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