Calcolo di un bra-ket in meccanica quantistica
Salve a tutti, avrei dei dubbi riguardo l'utilizzo della notazione di Dirac. Devo fare il seguente esercizio:
ho un oscillatore armonico 1D: $H = p^2/{2m} + 1/2mw^2x^2$ che si trova nello stato descritto dalla seguente funzione d'onda:
\[ \psi(x) = e^{-\frac{ix_0p}{h}}\psi_0 \]
dove $\psi_0$ è la funzione d'onda dello stato fondamentale. Devo calcolare $$ ovvero l'ampiezza di probabilità che lo stato, dopo una misura, passi ad un autostato $|n>$ della hamiltoniana.
Usando la relazione $ |n>$$ = 1/\sqrt{n!}a^{n†}|0>$ ,con $a^†$ operatore di salita, ho:
\[ = \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^{n†}e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0>\]
e qui sorge il mio dubbio: posso applicare l'operatore $a^{n†}$ al "bra" $<0|$? Oppure gli operatori li posso applicare solo ai ket? Cioè posso fare una cosa di questo tipo?:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^{n†}e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = \frac{1}{\sqrt{n!}}\]
Se questo passaggio è giusto da qui in poi saprei andare avanti.
Grazie per le eventuali risposte!
ho un oscillatore armonico 1D: $H = p^2/{2m} + 1/2mw^2x^2$ che si trova nello stato descritto dalla seguente funzione d'onda:
\[ \psi(x) = e^{-\frac{ix_0p}{h}}\psi_0 \]
dove $\psi_0$ è la funzione d'onda dello stato fondamentale. Devo calcolare $
Usando la relazione $ |n>$$ = 1/\sqrt{n!}a^{n†}|0>$ ,con $a^†$ operatore di salita, ho:
\[
e qui sorge il mio dubbio: posso applicare l'operatore $a^{n†}$ al "bra" $<0|$? Oppure gli operatori li posso applicare solo ai ket? Cioè posso fare una cosa di questo tipo?:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^{n†}e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = \frac{1}{\sqrt{n!}}
Se questo passaggio è giusto da qui in poi saprei andare avanti.
Grazie per le eventuali risposte!
Risposte
Ciao,
sì, a patto che si ricordi che in realtà, per un qualunque operatore
$$
A|\phi> \iff <\phi| A^{\dagger}
$$
(la doppia freccia indica la corrispondenza biunivoca tra un bra e un ket)
cioé l'operatore $A$ agisce sul bra come il suo aggiunto.
Nel tuo caso
$$
|n> = \frac{1}{\sqrt{n!}}a^{n†}|0> \iff
e quindi:
$$
= \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^{n}e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0>
$$
Vale sempre le regole di commutazione tra operatori - che in generale non commutano.
Domanda per te: ma in
\[ \psi(x) = e^{-\frac{ix_0p}{h}}\psi_0 \]
$p$ è un operatore - l'operatore impulso? Se sì, devi tenere conto che $p$ e $a$ non commutano.
Edit: immagino che si tratti dell'operatore impulso, altrimenti il problema sarebbe essenzialmente (dato che il termine moltiplicativo è una fase) il calcolo del l'ampiezza tra stato di vuoto e n-esimo stato eccitato che è banale (è pari alla fase moltiplicativa se n = 0, zero altrimenti) . Così su due piedi per prima cosa verificherei che lo stato dato è uno stato coerente - a questo punto il problema si riduce usando proprietà notevoli degli stati coerenti.
Edit2: se lo stato dato è davvero coerente, $||^2$ dovrebbero coincidere con le probabilità di una distribuzione poissoniana con una media opportuna (che viene fuori dai conti)
posso applicare l'operatore $ a^{n†} $ al "bra" $ <0| $
sì, a patto che si ricordi che in realtà, per un qualunque operatore
$$
A|\phi> \iff <\phi| A^{\dagger}
$$
(la doppia freccia indica la corrispondenza biunivoca tra un bra e un ket)
cioé l'operatore $A$ agisce sul bra come il suo aggiunto.
Nel tuo caso
$$
|n> = \frac{1}{\sqrt{n!}}a^{n†}|0> \iff
e quindi:
$$
$$
Vale sempre le regole di commutazione tra operatori - che in generale non commutano.
Domanda per te: ma in
\[ \psi(x) = e^{-\frac{ix_0p}{h}}\psi_0 \]
$p$ è un operatore - l'operatore impulso? Se sì, devi tenere conto che $p$ e $a$ non commutano.
Edit: immagino che si tratti dell'operatore impulso, altrimenti il problema sarebbe essenzialmente (dato che il termine moltiplicativo è una fase) il calcolo del l'ampiezza tra stato di vuoto e n-esimo stato eccitato che è banale (è pari alla fase moltiplicativa se n = 0, zero altrimenti) . Così su due piedi per prima cosa verificherei che lo stato dato è uno stato coerente - a questo punto il problema si riduce usando proprietà notevoli degli stati coerenti.
Edit2: se lo stato dato è davvero coerente, $|
Grazie per la dritta!
Si $p$ è l'operatore impulso. Stando a ciò che mi hai ricordato io farei in questo modo:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
Lo posso scrivere usando il commutatore come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[a^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]+e^{-\frac{ix_0p}{h}}a^n|0> \]
Essendo $a$ l'operatore di discesa $a^n|0> = 0$ e quindi il secondo termine non c'è:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[a^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]|0> \]
Ora posso usare il fatto che $a = \frac{p-imwx}{2mwh}$ e, dato che $[p,p] = 0$, avrei:
\[ (-\frac{imw}{2mwh})^n\frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[x^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]|0> \]
Come dovrei comportarmi con l'esponenziale? Posso scriverlo come:
\[ -∑ (\frac{ix_0p}{h})^n\frac{1}{n!} \]
e sfruttare in qualche modo la commutazione tra $x$ e $p$?
Si $p$ è l'operatore impulso. Stando a ciò che mi hai ricordato io farei in questo modo:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
Lo posso scrivere usando il commutatore come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[a^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]+e^{-\frac{ix_0p}{h}}a^n|0> \]
Essendo $a$ l'operatore di discesa $a^n|0> = 0$ e quindi il secondo termine non c'è:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[a^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]|0> \]
Ora posso usare il fatto che $a = \frac{p-imwx}{2mwh}$ e, dato che $[p,p] = 0$, avrei:
\[ (-\frac{imw}{2mwh})^n\frac{1}{\sqrt{n!}}<0|[x^n,e^{-\frac{ix_0p}{h}}]|0> \]
Come dovrei comportarmi con l'esponenziale? Posso scriverlo come:
\[ -∑ (\frac{ix_0p}{h})^n\frac{1}{n!} \]
e sfruttare in qualche modo la commutazione tra $x$ e $p$?
Sì, si può fare anche così però utilizzando la relazione di commutazione tra x e p i conti diventano probabilmente molto lunghi.
E' più facile tentare di svolgere direttamente il prodotto operatoriale $ a e^{-\frac{p x_0}{h}}$ espandendo l'esponenziale per serie (come dicevi) e studiando cosa accade portando a sx l'operatore di distruzione usando le regole di commutazione order by order (i primi ovviamente), troverai un risultato molto semplice generalizzabile per induzione per un k qualsiasi (lo stesso che dovrai usare se scegliessi di usare la seconda via di risoluzione che delineo sotto)
Io personalmente sfrutterei il fatto che uno stato coerente è (per definizione) autostato dell'operatore di distruzione $a$.
Non essendo hermitiano, gli autovalori possono essere complessi:
L'eq. agli autovalori è:
$$
a |z> = z |z>
$$
con z complesso. Dato che gli autostati dell'energia dell' oscillatore sono un insieme completo, si può esprimere z come:
$$
|z > = \sum_k |k> = \sum_k c_k^{(z)} |k>
$$
a questo punto si può dimostrare che lo stato coerente $|z>$ - normalizzato a 1 - può essere scritto come (1):
$$
|z> = e^{- \frac{|z|^2}{2} + z a^{\dagger}} |0>
$$
e inoltre che (2):
$$
= \frac{z^{n}}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{|z|^2}{2}}
$$
da cui (3):
$$
||^2 = \frac{(|z|^2)^n}{n!}{ e^{-|z|^2}}
$$
dunque: se riesci a dimostrare che lo stato dato (che fisicamente è una traslazione finita dello stato fondamentale) è uno stato coerente (ottenendo così l'autovalore z) il problema è risolto (si tratta di dimostrare i claim 1,2,3 oppure darli per corretti, o ancora consultare qualche referenza sugli stati coerenti)
ps considerazione a margine, problema molto interessante!
E' più facile tentare di svolgere direttamente il prodotto operatoriale $ a e^{-\frac{p x_0}{h}}$ espandendo l'esponenziale per serie (come dicevi) e studiando cosa accade portando a sx l'operatore di distruzione usando le regole di commutazione order by order (i primi ovviamente), troverai un risultato molto semplice generalizzabile per induzione per un k qualsiasi (lo stesso che dovrai usare se scegliessi di usare la seconda via di risoluzione che delineo sotto)
Io personalmente sfrutterei il fatto che uno stato coerente è (per definizione) autostato dell'operatore di distruzione $a$.
Non essendo hermitiano, gli autovalori possono essere complessi:
L'eq. agli autovalori è:
$$
a |z> = z |z>
$$
con z complesso. Dato che gli autostati dell'energia dell' oscillatore sono un insieme completo, si può esprimere z come:
$$
|z > = \sum_k |k>
$$
a questo punto si può dimostrare che lo stato coerente $|z>$ - normalizzato a 1 - può essere scritto come (1):
$$
|z> = e^{- \frac{|z|^2}{2} + z a^{\dagger}} |0>
$$
e inoltre che (2):
$$
$$
da cui (3):
$$
|
$$
dunque: se riesci a dimostrare che lo stato dato (che fisicamente è una traslazione finita dello stato fondamentale) è uno stato coerente (ottenendo così l'autovalore z) il problema è risolto (si tratta di dimostrare i claim 1,2,3 oppure darli per corretti, o ancora consultare qualche referenza sugli stati coerenti)
ps considerazione a margine, problema molto interessante!
Sto provando a vedere se con il primo metodo viene lo stesso risultato del secondo ma trovo qualche difficoltà:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^\frac{-ix_0p}{h}|0> \] (1)
L'esponenziale lo posso quindi scrivere in serie di Taylor come:
\[ e^\frac{-ix_0p}{h} = \sum_k (-\frac{ix_0p}{h})^k\frac{1}{k!} \]
(2)
Portando fuori dal prodotto scalare i termini costanti mi ritrovo quindi a dover calcolare:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a^np^k|0> \]
(3)
Ora posso scambiare gli operatori $a^n$ e $p^k$ introducendo però il commutatore:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|p^ka^n + [a^n,p^k]|0> \]
(4)
E sfruttando la proprietà dell'operatore di distruzione mi ritrovo con:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|[a^n,p^k]|0> \]
(5)
Ora sfrutto la proprietà dei commutatori:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k]+a^{n-1}[a,p^k]|0> \]
(6)
che posso anche scrivere come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}(<1|[a^{n-1},p^k]+ \]
(7)
Qui non saprei come proseguire. Dovrei trovare un modo per calcolare $[a^n,p^k]$ ed evitare i passaggi (6) e (7) ma non so come fare...
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^\frac{-ix_0p}{h}|0> \] (1)
L'esponenziale lo posso quindi scrivere in serie di Taylor come:
\[ e^\frac{-ix_0p}{h} = \sum_k (-\frac{ix_0p}{h})^k\frac{1}{k!} \]
(2)
Portando fuori dal prodotto scalare i termini costanti mi ritrovo quindi a dover calcolare:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a^np^k|0> \]
(3)
Ora posso scambiare gli operatori $a^n$ e $p^k$ introducendo però il commutatore:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|p^ka^n + [a^n,p^k]|0> \]
(4)
E sfruttando la proprietà dell'operatore di distruzione mi ritrovo con:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|[a^n,p^k]|0> \]
(5)
Ora sfrutto la proprietà dei commutatori:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k]+a^{n-1}[a,p^k]|0> \]
(6)
che posso anche scrivere come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}(<1|[a^{n-1},p^k]+
(7)
Qui non saprei come proseguire. Dovrei trovare un modo per calcolare $[a^n,p^k]$ ed evitare i passaggi (6) e (7) ma non so come fare...
ti faccio notare un errore nel conto: la regola di commutazione del prodotto di operatori recita:
$$
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
$$
per cui (5) in realtà dovrebbe essere:
$$
\frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k] + [a,p^k] a^{n-1} |0>
$$
per cui il secondo termine si annulla perché agisce sul vuoto:
$$
\frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k]|0>
$$
(questo suggerisce che si può applicare iterativamente questa semplificazione fino a che nel membro sx del commutatore diventa $a$).
A questo punto altro giro di walzer, $p^k$ si può espandere in termini di operatori di creazione e distruzione e semplificare usando le proprietà dei commutatori.
C'è un pò da ragionare e sporcarsi le mani con i conti, che mi paiono molto noiosi ... forse c'è un modo più diretto per arrivare al risultato risparmiandosi una valanga di passaggi ... in questo senso direi che l'altra metodologia di risoluzione è molto più immediata.
Come referenza per (eventuali) futuri lettori, potresti riportare il risultato che hai ottenuto e i passaggi che hai svolto? Così in caso posso confrontare il tuo risultato con il mio così da toglierti eventuali dubbi sulla sua correttezza
$$
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
$$
per cui (5) in realtà dovrebbe essere:
$$
\frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k] + [a,p^k] a^{n-1} |0>
$$
per cui il secondo termine si annulla perché agisce sul vuoto:
$$
\frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_k (\frac{-ix_0}{h})^k\frac{1}{k!}<0|a[a^{n-1},p^k]|0>
$$
(questo suggerisce che si può applicare iterativamente questa semplificazione fino a che nel membro sx del commutatore diventa $a$).
A questo punto altro giro di walzer, $p^k$ si può espandere in termini di operatori di creazione e distruzione e semplificare usando le proprietà dei commutatori.
C'è un pò da ragionare e sporcarsi le mani con i conti, che mi paiono molto noiosi ... forse c'è un modo più diretto per arrivare al risultato risparmiandosi una valanga di passaggi ... in questo senso direi che l'altra metodologia di risoluzione è molto più immediata.
Come referenza per (eventuali) futuri lettori, potresti riportare il risultato che hai ottenuto e i passaggi che hai svolto? Così in caso posso confrontare il tuo risultato con il mio così da toglierti eventuali dubbi sulla sua correttezza
Hint:
forse è più semplice partire da qui:
$$
<0|a^np^k|0>
$$
sostituire $p$ con la sua espressione in termini di operatori di creazione e distruzione, immaginare di eseguire tutti i prodotti (senza mai usare relazioni di commutazione) e poi chiedersi:
quando l'aspettazione nel vuoto di un numero arbitrario di operatori di creazione e di distruzione è diverso da zero?
insomma ottieni una somma di operatori, ciascuno è costituito da $a^n$ composto con un il prodotto di k fra operatori di creazione e distruzione: di questi solo alcuni saranno non nulli (quali?), i rimanenti puoi semplificarli con la regola di commutazione $$[a,a^\dagger] = 1$$
(questa è una idea che mi è balenata, premetto di non averci pensato a fondo e nemmeno provata)
forse è più semplice partire da qui:
$$
<0|a^np^k|0>
$$
sostituire $p$ con la sua espressione in termini di operatori di creazione e distruzione, immaginare di eseguire tutti i prodotti (senza mai usare relazioni di commutazione) e poi chiedersi:
quando l'aspettazione nel vuoto di un numero arbitrario di operatori di creazione e di distruzione è diverso da zero?
insomma ottieni una somma di operatori, ciascuno è costituito da $a^n$ composto con un il prodotto di k fra operatori di creazione e distruzione: di questi solo alcuni saranno non nulli (quali?), i rimanenti puoi semplificarli con la regola di commutazione $$[a,a^\dagger] = 1$$
(questa è una idea che mi è balenata, premetto di non averci pensato a fondo e nemmeno provata)
Provando ad andare avanti come da te consigliato mi è venuta un'idea che sembrerebbe portare ad un risultato promettente.
Tornando all'inizio, devo calcolare:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(1)
Posso scriverla come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}e^{\frac{ix_0p}{h}}a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(2)
E, notando che $e^{-\frac{ix_0p}{h}}$ è proprio l'operatore di traslazione di una quantità $x_0$, ho che:
\[ e^{\frac{ix_0p}{h}}a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}} = (a + x_0I)^n \]
(3)
E quindi la (2) diventa:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}(a+x_0I)^n|0> \]
(4)
Ovvero, usando la proprietà dell'operatore di discesa:
\[ \frac{x_0^n}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(5)
Mi rimane quindi da calcolare solo l'ampiezza di probabilità di finire nello stato fondamentale che, dopo il calcolo di un semplice integrale, mi viene:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}} \]
E quindi alla fine viene:
\[ P = \frac{x_0^{2n}}{n!}e^{-\frac{mwx_0^2}{2h}} \]
Pensi che possa andare? p.s. grazie per la disponibilità!
Tornando all'inizio, devo calcolare:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(1)
Posso scriverla come:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}e^{\frac{ix_0p}{h}}a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(2)
E, notando che $e^{-\frac{ix_0p}{h}}$ è proprio l'operatore di traslazione di una quantità $x_0$, ho che:
\[ e^{\frac{ix_0p}{h}}a^ne^{-\frac{ix_0p}{h}} = (a + x_0I)^n \]
(3)
E quindi la (2) diventa:
\[ \frac{1}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}(a+x_0I)^n|0> \]
(4)
Ovvero, usando la proprietà dell'operatore di discesa:
\[ \frac{x_0^n}{\sqrt{n!}}<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> \]
(5)
Mi rimane quindi da calcolare solo l'ampiezza di probabilità di finire nello stato fondamentale che, dopo il calcolo di un semplice integrale, mi viene:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}} \]
E quindi alla fine viene:
\[ P = \frac{x_0^{2n}}{n!}e^{-\frac{mwx_0^2}{2h}} \]
Pensi che possa andare? p.s. grazie per la disponibilità!
Ciao,
ho dato una prima lettura al tuo ragionamento (in caso prossimamente farò qualche errata-corrige), sei sicuramente su una buona strada ma il risultato è sbagliato.
Alcuni appunti:
il risultato al punto (3) mi pare corretto, immagino che tu abbia studiato l'effetto della traslazione sul singolo operatore di distruzione, esprimendolo in termini di x e p e usando le loro note proprietà di trasformazione sotto traslazione hai dedotto la trasformazione su a; poi hai generalizzato usando le proprietà di unitarietà della trasformazione, corretto?
sui punti seguenti mi pare tutto corretto, ma i problemi secondo me sono nel calcolo dell'ampiezza in
$$
<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0>
$$
perché la $P$ che riporti, sommata su tutti gli n, non è pari a 1.
Per curiosità, come hai eseguito il calcolo dell'ampiezza?
ho dato una prima lettura al tuo ragionamento (in caso prossimamente farò qualche errata-corrige), sei sicuramente su una buona strada ma il risultato è sbagliato.
Alcuni appunti:
il risultato al punto (3) mi pare corretto, immagino che tu abbia studiato l'effetto della traslazione sul singolo operatore di distruzione, esprimendolo in termini di x e p e usando le loro note proprietà di trasformazione sotto traslazione hai dedotto la trasformazione su a; poi hai generalizzato usando le proprietà di unitarietà della trasformazione, corretto?
sui punti seguenti mi pare tutto corretto, ma i problemi secondo me sono nel calcolo dell'ampiezza in
$$
<0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0>
$$
perché la $P$ che riporti, sommata su tutti gli n, non è pari a 1.
Per curiosità, come hai eseguito il calcolo dell'ampiezza?
Ah che stupido che sono! c'è un problema nel risultato (3) in realtà riprova a fare per bene tutti i conti per esteso e dovresti vedere che in realtà:
$$
e^{i \frac{p x_0}{h}}a e^{- i \frac{p x_0}{h}} = a + x_0 \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}}
$$
direi che il problema era questo, l'integrale è corretto e dovresti ottenere il risultato giusto.
riprova a fare per bene tutti i conti per esteso e dovresti vedere che in realtà:$$
e^{i \frac{p x_0}{h}}a e^{- i \frac{p x_0}{h}} = a + x_0 \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}}
$$
direi che il problema era questo, l'integrale è corretto e dovresti ottenere il risultato giusto.
Si purtroppo avevo fatto i calcoli velocemente. Direi quindi che alla fine l'esercizio è completato, metto giusto per completezza il calcolo di $e^{\frac{ipx_0}{h}}ae^{-\frac{ipx_0}{h}}$ perchè a me viene leggermente diverso rispetto al tuo e il calcolo dell'integrale.
\[ e^{\frac{ipx_0}{h}}ae^{-\frac{ipx_0}{h}} = a + [a,-\frac{ix_0p}{h}] = a - i\frac{x_0}{h}[\frac{p-imwx}{\sqrt{2mwh}},p] = a - \frac{x_0mw}{h\sqrt{2mwh}}[x,p] = a - ix_0\sqrt{\frac{mw}{2h}} \]
Per quanto riguarda l'integrale, chiamando N la costante di normalizzazione:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = N^2\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{2h}}e^{-\frac{mw(x-x_0)^2}{2h}} = N^2e^{-\frac{mwx_0^2}{2h}}\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mw}{h}(x^2-xx_0)} \]
Completando i quadrati e ridefinendo la costante viene:
\[ N^2e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}}\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{h}} \]
Imponendo la normalizzazione $<\psi|\psi> = 1$ si trova che:
\[ N^{-2} = \int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{h}} \]
E quindi:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}}\]
Ti ringrazio ancora per la pazienza e per la correzione degli errori che ho fatto!
\[ e^{\frac{ipx_0}{h}}ae^{-\frac{ipx_0}{h}} = a + [a,-\frac{ix_0p}{h}] = a - i\frac{x_0}{h}[\frac{p-imwx}{\sqrt{2mwh}},p] = a - \frac{x_0mw}{h\sqrt{2mwh}}[x,p] = a - ix_0\sqrt{\frac{mw}{2h}} \]
Per quanto riguarda l'integrale, chiamando N la costante di normalizzazione:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = N^2\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{2h}}e^{-\frac{mw(x-x_0)^2}{2h}} = N^2e^{-\frac{mwx_0^2}{2h}}\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mw}{h}(x^2-xx_0)} \]
Completando i quadrati e ridefinendo la costante viene:
\[ N^2e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}}\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{h}} \]
Imponendo la normalizzazione $<\psi|\psi> = 1$ si trova che:
\[ N^{-2} = \int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{-\frac{mwx^2}{h}} \]
E quindi:
\[ <0|e^{-\frac{ix_0p}{h}}|0> = e^{-\frac{mwx_0^2}{4h}}\]
Ti ringrazio ancora per la pazienza e per la correzione degli errori che ho fatto!
non capisco il procedimento che hai adottato nel calcolo del termine $e^{\frac{ipx_0}{h}}ae^{-\frac{ipx_0}{h}}$, potresti spiegare a parole i vari passaggi? non riesco proprio a comprenderli 
mentre invece il calcolo dell'integrale è corretto, ma tieni conto che il coefficiente di normalizzazione non è una incognita del calcolo ed è noto a priori dalla condizione di normalizzazione della funzione d'onda dello stato fondamentale (lo faccio notare semplicemente per il "futuro lettore" che magari potrebbe trovarsi disorientato)
mentre invece il calcolo dell'integrale è corretto, ma tieni conto che il coefficiente di normalizzazione non è una incognita del calcolo ed è noto a priori dalla condizione di normalizzazione della funzione d'onda dello stato fondamentale (lo faccio notare semplicemente per il "futuro lettore" che magari potrebbe trovarsi disorientato)
Ho usato il fatto che, nell'operatore di traslazione $U(x_0) = e^{-i\frac{px_0}{h}}$, il termine di traslazione $x_0$ può essere piccolo a piacere e quindi ho che:
\[ U(x_0) = U(0) + U'(x_0)_{x_0=0}x_0 + o(x_0^2) = I - i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2) \]
quindi:
\[ e^{i\frac{px_0}{h}}ae^{-i\frac{px_0}{h}} = (I + i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2))a(I - i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2)) = a - iap\frac{x_0}{h} + ipa\frac{x_0}{h} + o(x_0^2) = a -i\frac{x_0}{h}[a,p] + o(x_0^2) \]
\[ U(x_0) = U(0) + U'(x_0)_{x_0=0}x_0 + o(x_0^2) = I - i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2) \]
quindi:
\[ e^{i\frac{px_0}{h}}ae^{-i\frac{px_0}{h}} = (I + i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2))a(I - i\frac{px_0}{h} + o(x_0^2)) = a - iap\frac{x_0}{h} + ipa\frac{x_0}{h} + o(x_0^2) = a -i\frac{x_0}{h}[a,p] + o(x_0^2) \]
Immaginavo ... ma $x_0$ in realtà non è detto che sia piccolo a piacere 
, $x_0$ è dato, e non è detto che sia infinitesimo.
, $x_0$ è dato, e non è detto che sia infinitesimo.
Aggiungo un suggerimento: sotto azione aggiunta gli operatori $x$ e $p$ si trasformano nel seguente modo
$$
U^{\dagger}(x_0) \hat{x} U(x_0) = \hat{x} + x_0
$$
$$
U^{\dagger}(x_0) \hat{p} U(x_0) = \hat{p}
$$
il perché è intuibile (e dimostrabile) facilmente: una traslazione trasla un sistema fisico nello spazio (o alternativamente muove il sistema di coordinate), non variando la sua quantità di moto.
Si usano queste relazioni, valide per trasformazioni finite, per calcolare la trasformazione dell'operatore di distruzione.
$$
U^{\dagger}(x_0) \hat{x} U(x_0) = \hat{x} + x_0
$$
$$
U^{\dagger}(x_0) \hat{p} U(x_0) = \hat{p}
$$
il perché è intuibile (e dimostrabile) facilmente: una traslazione trasla un sistema fisico nello spazio (o alternativamente muove il sistema di coordinate), non variando la sua quantità di moto.
Si usano queste relazioni, valide per trasformazioni finite, per calcolare la trasformazione dell'operatore di distruzione.
Si erroneamente ho pensato che essendo su scale atomiche $x_0$ dev'essere molto piccolo...
Come hai fatto a ricavare $a + x_0\sqrt{\frac{mw}{2h}}$ allora?
Io ho provato scambiando gli operatori ma così facendo devo anche calcolare il commutatore tra $a$ e l'esponenziale, ovvero il calcolo che ho evitato di fare all'inizio
p.s.
Ho letto ora il tuo consiglio quindi provo a risolverlo usando quello.
Come hai fatto a ricavare $a + x_0\sqrt{\frac{mw}{2h}}$ allora?
Io ho provato scambiando gli operatori ma così facendo devo anche calcolare il commutatore tra $a$ e l'esponenziale, ovvero il calcolo che ho evitato di fare all'inizio
p.s.
Ho letto ora il tuo consiglio quindi provo a risolverlo usando quello.
Ok come non detto, basta scrivere $a$ in termini di $x$ e $p$. Grazie mille!
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