Calcolo di flusso attraverso spira piana!

[Ziko1]

Ciao a tutti, mi sono trovato a dover calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso un rombo come in figura. Premettendo che durante l'esame che non era di analisi mi sono improvvisato alcuni calcoli integrali e, vi chiedo se il ragionamento che ho fatto è giusto:

[asvg]xmin=-3;
xmax=3;
ymin=-1;
ymax=5;
axes();
fill="blue";
path([[0, 0], [2, 2], [0, 4], [-2, 2]]);
fill="green";
path([[0, 0], [2, 2], [0, 2]]);
fill="cyan";
path([[0, 2], [2, 2], [0, 4]]);
text([0.5, 1], "A", above);
text([0.5, 3], "B", above);
text([-0.5, 2], "C", above);[/asvg]

I dati che ho è che il lato è lungo "l", il campo vettoriale vale : $B(y)=(\mu_(0) * I)/(2*\pi*y)$ ed è ortogonale alla figura uscente dallo schermo.

Avevo pensato quindi di calcolarmi il flusso attraversol il primo tringolino "A" e moltiplicarlo per due (data la simmetria della funzione è permesso) e, poi calcolare il flusso attraverso il triangolino "B" moltiplicarlo ancora per due e quindi sommare. Credo che sia la giusta strada il problema l'ho avuto per impostare gli integrali che mi sono venuti:

$int_(0)^((l*sqrt(2))/2)int_(0)^(y)B(y)dxdxy$

Che credo di non aver sbagliato e:

$int_((sqrt(2)*l)/2)^(sqrt(2)*l)int_(y)^(l*sqrt(2)-y)B(y)dxdy$

che credo sia sbagliato. Qualcuno può spiegarmi come vengono gli estremi del secondo integrale? E perché? Grazie 1000!

[clrscr]

Non si potrebbe applicare il teorema della divergenza?

Considerando che il campo B può essere scritto come:
$B=(0,0,B(y))$, applicando il teorema della divergenza si ha che:
$grad *B=0$ da cui il risultato

[Ziko1]

Grazie per la risposta, ma credo che non si possa in questo caso applicare il teorema della divergenza inquando non si sta calcolando il flusso attraverso una superfice chiusa nelle 3 dimenzioni (che quindi racchiude un volume). In questo caso la superfice è piana e per calcolarla occorre passare attraverso la definizione.
Inoltre la domanda che facevo non voleva essere un quesito di fisica, ma di matematica per gli estremi di integrazione che non mi danno un risultato corretto!

Grazie!

[clrscr]

Non potrebbe essere:
$2*int_0^2 int_(2*x)^(-x+4) B(y) dy dx$

[Ziko1]

Non credo vada bene l'integrale in quel modo poiché togliendo B(y) e lasciando i soli dxdy il risultato di quell'integrale dovrebbe venire l'area della figura che stai considerando. Questo con gli estremi che hai messo tu non accade.

Alla fine sono arrivato a questa conclusione:

$int_((sqrt(2)*l)/2)^(sqrt(2)*l)int_(0)^(-y+sqrt(2)*l)B(y)dxdy$

Per verificare la correttezza del risultato ho utilizzato il ragionamento che ho detto prima: Se togliendo il campo B(y) l'integrale mi da l'area della regione su cui sto calcolando il flusso allora dovrebbe andar bene ed infatti:

$int_((sqrt(2)*l)/2)^(sqrt(2)*l)int_(0)^(-y+sqrt(2)*l)dxdy=(l^2)/4$

Quello che vorrei sapere è la definizione rigorosa di come si trovano tali estremi di integrazione, devo ammettere che sono andato un pò a senso!

Grazie!