Calcolo dell'energia potenziale elettrostatica

[matteol1]

Il prof. di fisica ha così ricavato la formula dell'energia potenziale elettrostatica ...
qualcuno potrebbe spiegarmi il calcolo (soprattutto nel passaggio dalle coordinate sferiche a cartesiane), grazie in anticipo.

$L_AB= \int_A^B\vecFd\vec l $ $= 1/ (4\pi\epsilon_0) \int_A^B (qq_0)\ r^2 \vec u (dr\vecu + r d\phi\vecu_\phi)$

n.b. $ d\vecl =(dr\vecu + r d \phi\vecu_\phi)$
$=>$ $ 1/ (4\pi\epsilon_0) \int_(rA)^(rB) (qq_0)\ r^2 dr = qq_o/ (4\pi\epsilon_0) \int_(rA)^(rB) r^-2 dr $ $=$

$=(qq_o)/ (4\pi\epsilon_0) ( 1/ r_A - 1 /r_B) = U(r_A) - U(r_B)$

[Falco5x]

$vec(dl)$ è un vettore infinitesimo generico che parte dal punto dello spazio scelto, e che può venire scomposto in 2 componenti: la componente radiale, cioè nella direzione di $q_0$, che ha valore $dr\vecu_r$, dove $\vecu_r$ è il versore radiale, cioè il vettore unitario parallelo alla congiungente tra il punto scelto e il centro dove è situata la carica; e la componente trasversale, che ha valore $rd\phi\vecu_\phi$ dove $\vecu_\phi$ è un versore ortogonale a $\vecu_r$. Poiché $d\phi$ è una variazione infinitesima d'angolo, è necessario moltiplicarla per $r$ affinché dia una lunghezza infinitesima. In tal modo $\vec(dl)$ risulta somma di 2 vettori ortogonali: $dr\vecu_r$ e $rd\phi\vecu_\phi$. Poichè la forza $\vecF$ è radiale, il prodotto scalare con $rd\phi\vecu_\phi$, che è ortogonale ad essa, non dà contributo. Per cui di tutto il prodotto scalare resta solo il contributo $Fdr$. Poi basta integrare.